Majorantenkriterium

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Das Majorantenkriterium ist ein mathematisches Konvergenzkriterium für unendliche Reihen. Die Grundidee ist, eine Reihe durch eine größere, so genannte Majorante, abzuschätzen, deren Konvergenz bekannt ist. Umgekehrt kann mit einer Minorante die Divergenz nachgewiesen werden.

Formulierung des Kriteriums

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Sei eine unendliche Reihe

 

mit reellen oder komplexen Summanden   gegeben. Gibt es nun eine konvergente unendliche Reihe

 

mit nichtnegativen reellen Summanden   und gilt für fast alle  :

 

dann ist die Reihe   absolut konvergent. Man sagt, die Reihe   wird von   majorisiert oder   ist die Majorante von  .

Kehrt man diesen Schluss um, erhält man das Minorantenkriterium: Sind   und   Reihen mit nichtnegativen reellen Summanden   bzw.  , und gilt

 

für fast alle  , dann folgt: Ist   divergent, dann ist auch   divergent.

Konvergiert die Reihe  , dann gibt es zu jedem   ein  , so dass   für alle   gilt (Cauchykriterium).

Aus der Dreiecksungleichung und   folgt  . Daraus folgt die (absolute!) Konvergenz von   nach dem Cauchykriterium.

Beispiel

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Die geometrische Reihe

 

ist konvergent. Wegen   konvergiert somit auch die Reihe

 .

Anwendungen

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Das Majorantenkriterium wird auch als allgemeinste Form eines Vergleichskriteriums 1. Art bezeichnet, alle weiteren ergeben sich durch das Einsetzen konkreter Reihen für  . Am prominentesten sind dabei das Wurzelkriterium und das Quotientenkriterium, in welchen die geometrische Reihe als Vergleichsreihe gewählt wird.

Ebenfalls lässt sich aus dem Majoranten- bzw. Minorantenkriterium das Cauchysche Verdichtungskriterium herleiten, mit dem sich beispielsweise zeigen lässt, dass die allgemeine harmonische Reihe

 

konvergent für   und divergent für   ist.

Das Majorantenkriterium kann auf den Fall normierter Vektorräume ausgedehnt werden, es besagt dann, dass falls   für fast alle   gilt, die Partialsummenfolge von   eine Cauchy-Folge ist. Ist der Raum vollständig, d. h. ein Banachraum, so konvergiert  , falls   konvergiert. Insbesondere folgt daraus der Fixpunktsatz von Banach, der in vielen konstruktiven Sätzen der Analysis benutzt wird.

Siehe auch

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Literatur

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