Cauchysches Verdichtungskriterium

mathematischer Satz

Das Cauchy’sche Verdichtungskriterium, auch bekannt als Cauchy’scher Verdichtungssatz, Verdichtungsprinzip, Verdünnungssatz oder Kondensationskriterium (nach Augustin Louis Cauchy), ist ein mathematisches Konvergenzkriterium, genauer ein Mittel zur Entscheidung, ob eine unendliche Reihe konvergent oder divergent ist.

Formulierung Bearbeiten

Sei   eine monoton fallende Folge nicht-negativer reeller Zahlen. Dann hat die unendliche Reihe

 

das gleiche Konvergenzverhalten wie die verdichtete Reihe

 ,

das heißt, dass die eine Reihe genau dann konvergiert, wenn die andere konvergiert.

Beweisskizze Bearbeiten

Die Wirkungsweise dieses Kriteriums kann als Betrachtung von Ober- und Untersummen der zu untersuchenden Reihe gedacht werden. Die Folge   wird in Blöcke aufsteigender Länge aufgeteilt und in jedem Block gegen Maximum und Minimum abgeschätzt. Da die Folge   als monoton fallend vorausgesetzt wurde, ist das Maximum mit dem ersten und das Minimum mit dem letzten Folgenglied eines jeden Blockes identisch.

Das Kriterium ergibt sich nun aus dem Majorantenkriterium. Die gängigste Blockaufteilung ist die nach Zweierpotenzen mit Blöcken  . Um Konvergenz nachzuweisen, konstruiert man die Majorante   durch

  für  .

Zu jedem Index k enthält die Majorante   Glieder mit demselben Wert  , die Majorante konvergiert also genau dann, wenn   konvergiert.

Um Divergenz nachzuweisen, konstruiert man die Minorante   durch

  für  .

Zu jedem Index k enthält die Minorante   Glieder mit demselben Wert  , die Minorante divergiert also genau dann, wenn   divergiert.

Anwendungsbeispiel Bearbeiten

Eine Anwendung liegt bei den allgemeinen harmonischen Reihen. Für ein festes   hat

 

das gleiche Konvergenzverhalten wie

 .

  ist offensichtlich eine geometrische Reihe mit Faktor  . Aus deren Konvergenzverhalten folgt, dass für   Konvergenz, sonst Divergenz, vorliegt. Man beachte den Wechsel des Startwertes und des Indexes der Reihe von   auf  .

Analog ergibt sich für die noch langsamer konvergierenden bzw. divergierenden Reihen

 

für   Konvergenz, sonst Divergenz.

Verallgemeinerung Bearbeiten

Anstelle der Teilfolge   können nach einer Verallgemeinerung von Oskar Schlömilch auch andere Teilfolgen zur Verdichtung verwendet werden.[1] Sei   eine monoton fallende Folge nichtnegativer reeller Zahlen. Dann hat die unendliche Reihe

 

das gleiche Konvergenzverhalten wie die verdichtete Reihe

 ,

wobei   eine streng monoton steigende Funktion auf den natürlichen Zahlen ist, die

 

erfüllt.

Quellen Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 6. Auflage. ISBN 978-3-642-64825-0, S. 122–123.