Lemma von Frank

Das Lemma von Frank ist ein mathematischer Lehrsatz auf dem Gebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung, welcher auf den Mathematiker Ove Frank zurückgeht. Es formuliert eine elementare stochastische Ungleichung für gewisse endliche Familien von integrierbaren reellen Zufallsvariablen und erweist sich damit als nützliches Hilfsmittel für den Beweis einiger Resultate im Umfeld des Gesetzes der großen Zahlen. Mit Hilfe des Lemmas von Frank lassen sich nicht zuletzt die kolmogoroffsche Ungleichung und die tschebyscheffsche Ungleichung herleiten.[1]

Formulierung des LemmasBearbeiten

Der Darstellung von Heinz Bauer folgend lässt sich das Lemma angeben wie folgt:[1]

Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum   und darauf endlich viele  -integrierbare Zufallsvariablen  
mit   und     .
Sei weiterhin eine reelle Zahl   gegeben und hierbei für  
 
gesetzt.
Dann gilt:
    .

Folgerung: Die Ungleichung von Hájek und RényiBearbeiten

Mit dem Lemma von Frank lässt sich eine von Jaroslav Hájek und Alfréd Rényi vorgelegte Ungleichung herleiten, welche ihrerseits weitere Ungleichungen und insbesondere sowohl die die kolmogoroffsche als auch die tschebyscheffsche Ungleichung in sich einschließt.

Die Ungleichung lautet gemäß der Darstellung von Heinz Bauer wie folgt:[1]

Seien auf dem Wahrscheinlichkeitsraum   endlich viele unabhängige integrierbare reelle Zufallsvariablen   gegeben
und dazu absteigend angeordnete positive Zahlen     .
Sei hierbei für  
 [2]
gesetzt.
Dann ist für jeden Index   und für jedes reelle  
die Ungleichung
    .[3][4]
erfüllt.

Quellen und HintergrundliteraturBearbeiten

Einzelnachweise und FußnotenBearbeiten

  1. a b c Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie und Grundzüge der Maßtheorie. 1978, S. 171 ff.
  2. Für eine integrierbare reelle Zufallsvariable   ist   der Erwartungswert von   .
  3. Für eine integrierbare reelle Zufallsvariable   ist   die Varianz von   .
  4. Eine Summe der Form   wird als Summe über die leere Menge und damit gleich Null betrachtet.