Kriterium von Bertrand

Das Kriterium von Bertrand oder das Bertrandsche Kriterium ist ein mathematisches Konvergenzkriterium zur Bestimmung der (absoluten) Konvergenz sowie Divergenz unendlicher Reihen, das nach dem französischen Mathematiker Joseph Bertrand (1822–1900) benannt ist.

Formulierung

Sei $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} _{+}^{\mathbb {N} }$ eine positive reelle Folge und $\textstyle A:=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ die zugehörige Reihe. Die Folge $(B_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ mit:

$B_{n}:=\ln(n)\left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right)$

habe den endlichen oder unendlichen (respektive uneigentlichen) Grenzwert $B\in {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$:

$B:=\lim \limits _{n\to \infty }B_{n}$.

Dann gilt für die Reihe: $A$ ist ${\begin{cases}{\text{konvergent, falls}}&B>1\\{\text{divergent, falls}}&B<1\end{cases}}$.

Beweis

Sei $c_{n}:=n\ln(n)$ mit $n\in \mathbb {N} _{\geqq 2}$. Die Reihe $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{c_{n}}}$ divergiert aufgrund des Integralkriteriums. Setzen wir $f(x):={\frac {1}{x\ln(x)}}$, so gilt ${\frac {1}{c_{n}}}=f(n)$ und $f(x)$ ist monoton fallend und $f(x)\to 0$ für $x\to \infty$ und $x\geqq 2$. Des Weiteren ist:

$\int _{2}^{R}{\frac {1}{x\ln(x)}}\mathrm {d} x=\int _{2}^{R}{\frac {{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln(x)}{\ln(x)}}\mathrm {d} x=\ln(\ln(R))-\ln(\ln(2)){\xrightarrow {R\to \infty }}\infty$.

Setze nun:

${\begin{aligned}K_{n}&:=c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-c_{n+1}=n\ln(n){\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-(n+1)\ln(n+1)\\&=n\ln(n){\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-n\ln(n+1)-\ln(n+1)\\&=n\ln(n){\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-n\left(\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)+\ln(n)\right)-\left(\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)+\ln(n)\right)\\&=n\ln(n){\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-(n+1)\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)-n\ln(n)-\ln(n)\\&=\ln(n)\left(n{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-n-1\right)-\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}\\&=\ln(n)\left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right)-\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}\\&=B_{n}-\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}\end{aligned}}$.

Mit der Stetigkeit des Logarithmus und dem bekannten Grenzwert $\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}=e$ folgt für $n\to \infty$:

$K=B-\ln(e)=B-1$,

wobei $K,B\in {\overline {\mathbb {R} }}$ und $K:=\lim _{n\to \infty }K_{n}$ gilt. $(c_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ erfüllt nun nach Konstruktion die Bedingungen des Kriteriums von Kummer. Aus Letzterem folgt für $A$: $A\colon {\begin{cases}{\text{konvergent}}&K>0\Leftrightarrow B>1\\{\text{divergent}}&K<0\Leftrightarrow B<1\end{cases}}$.

Literatur

• Gregor Michailowitsch Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung 2 (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 62). 10. Auflage. Verlag Harri Deutsch [Fismatgis/Физматгиз], Frankfurt am Main [Moskau] 2009, ISBN 978-3-8171-1279-1, XI: Unendliche Reihen mit konstanten Gliedern, S. 262, 732 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche – russisch: Курс дифференциального и интегрального исчисления. Übersetzt von Brigitte Mai, Walter Mai, Erstausgabe: 1959).