Integralkriterium

mathematischer Satz

Das Integralkriterium (auch Integralvergleichskriterium) ist ein mathematisches Konvergenzkriterium für unendliche Reihen. Die Reihe wird dabei als Fläche unter einer Treppenfunktion betrachtet, die durch den Flächeninhalt unter einer Kurve abgeschätzt wird. Mit einer Abschätzung nach oben lässt sich die Konvergenz nachweisen, nach unten die Divergenz. Der Flächeninhalt unter der Kurve berechnet sich durch das Integral.

Untere Abschätzung der harmonischen Reihe durch Fläche unter der Funktion 1/x

Formulierung

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Es sei   eine monoton fallende Funktion, die auf dem Intervall   mit einer ganzen Zahl   definiert ist und nur nichtnegative Werte annimmt. Dann konvergiert die Reihe   genau dann, wenn das Integral   existiert, das heißt, wenn es einen endlichen Wert annimmt. Anstatt von der Existenz des Integrals spricht man manchmal auch – gleichbedeutend – von der Konvergenz des Integrals.

Genauer: Sei   monoton fallend, dann gilt

  ist auf   integrierbar   ist konvergent.

Falls eines von beiden, also Existenz des Integrals beziehungsweise Konvergenz der Reihe, und damit auch das andere, zutrifft, gelten die Abschätzungen

 .

Beispiele

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Um zu prüfen, ob die Reihe

 

konvergiert, stellt man fest, dass sie mit der Funktion

 

als   geschrieben werden kann. Die Funktion   ist im Intervall   monoton fallend und es gilt:

 

Das Integral ist also endlich und nach dem Integralkriterium ist die Reihe somit konvergent.

Ähnlich kann die harmonische Reihe   mit   als   umgeschrieben werden. Die Funktion   ist im Intervall   monoton fallend, das heißt, dass das Integralkriterium angewendet werden kann:

 

Das Integral ist divergent und somit die harmonische Reihe auch.

Veranschaulichung

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Das Integralkriterium ist schon durch die Anschauung zugänglich: Gerade die letzte Zeile ähnelt einer populären Begründung des Begriffs des Riemann-Integrals mithilfe von Ober- und Untersummen.

Weil nach Voraussetzung ja   monoton fällt, ist auf jedem Intervall   (mit einer ganzen Zahl  )   der größte und   der kleinste Funktionswert auf diesem Intervall. Weil das Intervall die Breite 1 hat, ist der Flächeninhalt unter   immer kleiner oder gleich   und größer oder gleich  . Wenn nun das Integral oder die Reihe konvergiert, so muss auch der jeweils andere Ausdruck konvergieren.

Oder: Die Reihe   konvergiert, nähert sich also ab   unendlich nahe an den Grenzwert an. Für das Integral bedeutet dies, dass die Fläche nicht mehr größer wird, sondern sich ebenfalls an einen (Flächen)-Wert annähert. Hätte die Fläche gegen unendlich keinen Grenzwert, könnte nie ein Wert für das Integral   fest gemacht werden und somit das Integral keinen endlichen Wert annehmen, was im Widerspruch zur obigen Definition steht.

Literatur

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