Kreis des Apollonios

spezieller geometrischer Ort

In der Geometrie ist der Kreis des Apollonios (auch Kreis des Apollonius oder apollonischer Kreis) ein spezieller geometrischer Ort, nämlich die Menge aller Punkte, für die das Verhältnis der Entfernungen zu zwei vorgegebenen Punkten einen vorgegebenen Wert hat. Der Kreis des Apollonios ist nicht zu verwechseln mit dem apollonischen Problem, einem Berührkreis-Problem. Namensgeber ist in beiden Fällen Apollonios von Perge.

Satz und DefinitionBearbeiten

 
Kreis des Apollonios
  • Gegeben seien eine Strecke   und eine positive reelle Zahl  . Dann ist die Punktmenge
     
    ein Kreis, der als Kreis des Apollonios bezeichnet wird.

Zur Begründung der Kreiseigenschaft verwendet man den inneren und den äußeren Teilungspunkt der Strecke   im Verhältnis  . Diese beiden Punkte (  und  ) erfüllen die oben geforderte Bedingung und teilen die Strecke   harmonisch. Ist nun   ein beliebiger Punkt mit der Eigenschaft  , so teilt die Gerade   die gegebene Strecke   im Verhältnis  .   muss daher mit der Winkelhalbierenden des Winkels   übereinstimmen. Entsprechend lässt sich zeigen, dass die Gerade   den Nebenwinkel von   halbiert. Da die Winkelhalbierenden von Nebenwinkeln zueinander senkrecht stehen, muss   auf dem Thaleskreis über   liegen.

Umgekehrt erfüllt jeder Punkt   des genannten Thaleskreises die Bedingung  .

Im speziellen Fall   ist die gesuchte Punktmenge die Mittelsenkrechte der Punkte A und B.

Weitere EigenschaftenBearbeiten

  • Der Radius des Apollonios-Kreises beträgt  .
  • Der durch   gehende Apollonioskreis für die Strecke   ist der durch   gehende Inversionskreis, bezogen auf den die Endpunkte   zueinander invers sind.
  • Wenn A und B bei Inversion am Apollonioskreis ineinander übergehen, wird jeder durch A und B gehende Kreis ebenfalls in sich selbst invertiert und schneidet den Apollonioskreis deshalb rechtwinklig. Dies gilt insbesondere auch für den über   geschlagenen Kreis. Wegen der Reziprozität der harmonischen Teilung – teilt ein Punktpaar ein anderes harmonisch, so ist es selbst von diesem harmonisch geteilt (im Verhältnis   statt   ) – ist der Kreis über   Apollonioskreis für die Strecke  .
  • Die drei Kreise des Apollonios eines Dreiecks schneiden sich im isodynamischen Punkt des entsprechenden Dreiecks.

LiteraturBearbeiten

  • Franz Lemmermeyer: Mathematik à la Carte: Quadratische Gleichungen mit Schnitten von Kegeln. Springer, 2016, ISBN 9783662503416, S. 98
  • Joachim Engel, Andreas Fest: Komplexe Zahlen und ebene Geometrie. Walter de Gruyter, 2016, ISBN 9783110406887, S. 40
  • Nathan Altshiller: On the Circles of Apollonius. The American Mathematical Monthly, Band 22, Nr. 8 (Okt., 1915), S. 261–263 (JSTOR 2691113)
  • Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 40, 294–297 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry).

WeblinksBearbeiten

Commons: Apolloniuskreise – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien