Kartesisches Blatt

Das kartesische Blatt (oder cartesische Blatt, folium cartesii) ist eine ebene algebraische Kurve 3. Ordnung, die nach dem französischen Mathematiker und Philosophen René Descartes benannt ist.

Kartesisches Blatt für

DefinitionBearbeiten

Sei   eine reelle Zahl, dann ist das kartesische Blatt in kartesischen Koordinaten definiert durch die Gleichung

 

Andere Gleichungen des kartesischen BlattesBearbeiten

In Parameterdarstellung kann das kartesische Blatt durch die Gleichungen

 

beschrieben werden, wobei   ist.

In Polarkoordinaten wird das kartesische Blatt durch die Gleichung

 

beschrieben.

Eigenschaften des kartesischen BlattesBearbeiten

Im Folgenden wird jeweils vorausgesetzt, dass die Koordinatenachsen so liegen wie in der Skizze.

  • Das kartesische Blatt ist achsensymmetrisch bezüglich der Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten (Gleichung y = x). Genau zwei Punkte der Kurve liegen auf der Symmetrieachse, nämlich der Ursprung und der Scheitel mit den Koordinaten  .
  • Der Ursprung des Koordinatensystems ist Doppelpunkt der Kurve. Die x- bzw. die y-Achse sind die jeweiligen Tangenten im Ursprung.
  • Die Gerade mit der Gleichung   (in der Skizze blau gestrichelt) ist Asymptote der Kurve.
  • Für beide Kurvenzweige beträgt der Krümmungsradius im Ursprung  .
  • Die Schleife des kartesischen Blattes schließt eine Fläche mit dem Inhalt   ein.
  • Die Fläche, die von der Kurve und der Asymptote begrenzt wird und sich ins Unendliche erstreckt, hat denselben Flächeninhalt  .

GeschichteBearbeiten

Die Kurve wurde zuerst im Jahre 1638 von Descartes vorgeschlagen. Sie spielt eine wichtige Rolle bei der Entwicklung der Infinitesimalrechnung. Descartes stellte Fermat die Aufgabe, für einen beliebigen Punkt der Kurve die Tangente zu bestimmen, weil Fermat eine Methode für solche Probleme entdeckt hatte. Fermat löste die Aufgabe mit Leichtigkeit, was Descartes nicht gelungen war (Simmons, p. 101). Mithilfe der Infinitesimalrechnung kann man die Tangentensteigung für eine implizit gegebene Kurve problemlos durch implizite Differentiation herausfinden.

WeblinksBearbeiten