Integralgleichung 1. Art

In der Mathematik wird eine Integralgleichung, bei der die gesuchte Funktion nur unter dem Integralzeichen vorkommt, als Integralgleichung 1. Art bezeichnet. Sind beispielsweise , und gegeben, so ist

eine Integralgleichung der 1. Art für die unbekannte Funktion .

EinteilungBearbeiten

Sind die Grenzen des Integrals fix, so wird die Integralgleichung Fredholmsch genannt; tritt die freie Variable in den Integralgrenzen auf, so heißt die Integralgleichung Volterrasch.

Ein einfaches Beispiel einer Volterraschen Integralgleichung 1. Art ist die Gleichung

 ,

deren Lösung offensichtlich die erste Ableitung ist:  .

LösbarkeitBearbeiten

Integralgleichungen 1. Art sind in der Regel sogenannte inkorrekt gestellte Probleme, also Probleme, die nicht in kanonischer Weise gelöst werden können. Ist nämlich

 

ein kompakter Operator zwischen Banachräumen X und Y und hat K unendlich-dimensionalen Bildraum, dann ist das Bild von   von erster Kategorie in  . Das bedeutet, dass   nicht stetig invertierbar oder wenigstens offen sein kann. Zur Lösung von Integralgleichungen 1. Art sind daher Regularisierungsverfahren erforderlich.

BeispielBearbeiten

Auch das bereits erwähnte Bilden der ersten Ableitung ist ein inkorrekt gestelltes Problem: Betrachtet man beispielsweise den normierten Vektorraum

 

der unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen des Intervalls   bezüglich der Supremumsnorm, so ist der Operator

 ,

welcher der Funktion   die Lösung der Integralgleichung

 

zuordnet, ein unstetiger linearer Operator:

 

ist im Sinne der Supremumsnorm eine Nullfolge, da

 

aber für

 

gilt:

 .

Die Funktionenfolge   konvergiert also gegen die Funktion  , aber die Folge   der Bilder divergiert.

Numerisches DifferenzierenBearbeiten

Diese Eigenschaft spiegelt sich auch wider, wenn man versucht, näherungsweise gegebene Funktionen numerisch zu differenzieren. Berechnet man beispielsweise numerisch die Ableitung von   an der Stelle   durch Bilden der Differenzenquotienten   für unterschiedliche Schrittweiten  , so erhält man typischerweise folgendes Ergebnis:

   
  2,83297
  1,73398
  1.65699
  1,64955
  1,6488
  1,64873
  1,64872
  1,64872
  1,64872
  1,64872
  1,64872
  1,64873
  1,64868
  1,64979
  1,64313
  1,55431
  2,22045

Der exakte Wert der Ableitung ist  . Der Fehler nimmt für immer kleinere Schrittweiten   also zuerst ab, bis man praktisch den korrekten Wert erhält, für noch kleinere   nimmt der Fehler aber überraschenderweise wieder zu. Dies erklärt sich damit, dass für kleine   zwar der Diskretisierungsfehler, also der Unterschied zwischen dem Differenzenquotienten und der Ableitung, immer kleiner wird, dafür aber nimmt der Fehler zu, der dadurch entsteht, dass man ja   nicht exakt zur Verfügung hat, sondern nur eine numerische Approximation dieser Funktion. Da Differenzieren ein unstetiger linearer Operator ist, kann dieser zweite Fehler beliebig groß werden.

Dieses Verhalten ist generell typisch für inkorrekt gestellte Probleme.

Weitere BeispieleBearbeiten

Andere Beispiele von Integralgleichungen 1. Art sind die inverse Laplace-Transformation sowie die nach Johann Radon benannte inverse Radon-Transformation, die in der Computertomographie eine wichtige Rolle spielt. Beides sind inkorrekt gestellte Probleme.

Die inverse Fourier-Transformation ist ebenfalls eine Integralgleichung 1. Art, im Gegensatz zu den anderen Beispielen allerdings ein korrekt gestelltes Problem.

QuellenBearbeiten