In der Geometrie sind Hilbert-Metriken gewisse Metriken auf beschränkten konvexen Teilmengen des euklidischen Raumes, die das Beltrami-Klein-Modell der hyperbolischen Geometrie verallgemeinern.

Definition

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Eine kompakte konvexe Menge.

Sei   eine beschränkte, offene, konvexe Menge. Zu je zwei Punkten   gibt es dann eine eindeutige Gerade durch   und zwei eindeutige Schnittpunkte dieser Geraden mit dem Rand  . Die beiden Schnittpunkte seien mit   bezeichnet, wobei   näher an   und   näher an   liege. Der Hilbert-Abstand   ist dann auf   definiert durch die Formel

 

für   und  .

Die Hilbert-Metrik stammt nicht immer von einer Riemannschen Metrik, aber immer von einer Finsler-Metrik definiert durch

 

für  .

Eigenschaften

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Im Folgenden seien   zwei kompakte, konvexe Mengen und   die den beiden Mengen zugeordneten Hilbert-Metriken.

  • Aus   folgt   für alle  .
  • Wenn es eine lineare Abbildung   mit   gibt, dann ist   für alle  .

Beispiele

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 .

Projektive Geometrie

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Sei   eine eigentliche, offene, konvexe Teilmenge des projektiven Raumes. (Eine Menge   heißt eigentlich, wenn es eine   enthaltende affine Karte   gibt, in der   einer beschränkten Menge   entspricht.) Man definiert dann die Hilbert-Metrik auf   durch die Hilbert-Metrik auf  . Weil die Hilbert-Metrik invariant unter linearen Abbildungen ist, hängt die so definierte Metrik nicht von der Wahl der affinen Karte ab.

Innerhalb der projektiven Geometrie kann man   interpretieren als das Doppelverhältnis der vier Punkte   auf der durch   und   bestimmten projektiven Geraden.

Die Gruppe der Kollineationen

 

ist eine Lie-Gruppe und wirkt durch Isometrien der Hilbert-Metrik, sie lässt sich isomorph zu einer Untergruppe von   hochheben.

Anwendungen

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Die Hilbert-Metrik auf   wird in Birkhoffs Beweis des Satzes von Perron-Fronenius verwendet.

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Literatur

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  • Yves Benoist: A survey on divisible convex sets (PDF; 165 kB)
  • Ludovic Marquis: Around groups in Hilbert geometry (PDF; 2,5 MB)