Volumenableitung

mathematisches Teilgebiet

Die Volumenableitung ist ein Begriff des mathematischen Teilgebiets der Vektoranalysis, der insbesondere in den Ingenieurwissenschaften verwendet wird. Unter der Volumenableitung versteht man die koordinatenfreie Darstellung der für die Vektoranalysis wichtigen Differentialoperatoren Gradient, Divergenz und Rotation. Die Darstellung mittels der Volumenableitung wird je nach Fachbereich auch als Definition dieser Differentialoperatoren verwendet. Mittels der Integralsätze von Gauß und Stokes kann gezeigt werden, dass diese koordinatenfreie Darstellung mit den anderen üblichen Definitionen dieser Operatoren übereinstimmt.

Operatoren der Vektoranalysis als Volumenableitung

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Gradient

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Sei   ein Raumgebiet mit Volumen   und   ein Skalarfeld. Dann kann der Gradient des Skalarfelds   im Punkt   durch

 

berechnet werden. Dabei ist   ein Oberflächenintegral, gebildet mit dem vektoriellen äußeren Flächenelement   von   Außerdem bezeichnet   eine Folge von Raumgebieten mit  , mit   und mit  , wobei   das entsprechende Volumen bezeichnet.

Etwas kürzer wird der Sachverhalt meist durch

 

notiert.[1]

Divergenz

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Sei   ein Vektorfeld. Mit der Notation aus dem vorigen Abschnitt kann die Divergenz des Vektorfelds   im Punkt   durch

 

berechnet werden.[2]

Rotation

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Sei   ebenfalls wieder ein Vektorfeld. Mit der Notation aus dem vorigen Abschnitt kann die Rotation des Vektorfelds   im Punkt   durch

 

berechnet werden.[3]

Konzept der Volumenableitung

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In der Literatur wird selten eine allgemeine Definition für die Volumenableitung gegeben. Sie wird vielmehr wie hier im Artikel auch als die koordinatenfreie Darstellung der drei Differentialoperatoren der Vektoranalysis eingeführt. Bei der Berechnung einer Volumenableitung einer Funktion   im Ortsraum im Punkt   wird also ein Raumgebiet   mit dem Inhalt   gewählt, das den Punkt   enthält. Eine Näherung für den Wert der Volumenableitung ergibt sich dann aus dem Oberflächenintegral von   über den Rand   von   dividiert durch   Durch Schrumpfung von   auf   ergibt sich dann die Volumenableitung als Grenzwert.

Manchmal wird hingegen auch die Gleichung

 

für eine um   stetige Funktion   als Volumenableitung bezeichnet.[4] Mittels dieser Darstellung und gewisser Spezialfälle des Integralsatzes von Gauß können obige Volumenableitungen bewiesen werden. Dieses Volumenintegral behandelt nicht die Änderung der Funktion  , sondern liefert ihren Wert an der Stelle  

Ähnlichkeit mit der gewöhnlichen Ableitung

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Um die Verwandtschaft der Volumenableitung mit der gewöhnlichen Ableitung herauszustellen, kann auch die (gewöhnliche) Ableitung   einer skalarwertigen Funktion   an der Stelle   durch das Randintegral

 

notiert werden. Dabei bezeichnet   das den Wert   einschließende  -Intervall,   den Inhalt (= die Länge) von   und   den Rand von  , das heißt dessen untere und obere Grenze. Durch Schrumpfung von   auf   ergibt sich   als Grenzwert.

Verallgemeinerung durch die Cartan-Ableitung

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Beim Übergang zum moderneren Cartanschen Kalkül werden Skalar- und Vektorfelder durch sie repräsentierende Differentialformen ersetzt: Ein Skalarfeld kann direkt als Differential-0-Form betrachtet, via   (wobei   das kanonische Skalarprodukt bezeichne und   offen sei) jedoch auch als 3-Form verwendet werden. Ein Vektorfeld kann via   als 1-Form und via   als 2-Form agieren. Der Zusammenhang wird jeweils über den Hodge-Operator hergestellt:  . Welche Übersetzung erfolgt, hängt maßgeblich vom Verwendungszweck des Skalar- bzw. Vektorfelds ab. Im Folgenden bezeichne   eine  -dimensionale Untermannigfaltigkeit oder eine  -Kette. Es gilt dann stets

 

Die Cartan-Ableitung verallgemeinert das Konzept der Volumenableitung von Vektorfeldern für Formen auf Mannigfaltigkeiten beliebiger Dimension. Es bezeichne   das von diesen Vektoren aufgespannte Parallelepiped (betrachtet als  -Kette, wobei im Falle einer Mannigfaltigkeit die   Tangentialvektoren desselben Tangentialraums sind) sowie   das Integral einer  -Form über den Rand dieses Parallelepipeds. Zu jeder  -Form   gibt es stets eine eindeutige  -Form  , die dem linearen Anteil des Integrals über den Rand eines jeden Parallelepipeds entspricht, so dieses infinitesimal wird (d. h.  )[5]:

 

Im Falle   stimmt sie überein mit dem gewöhnlichen Differential. Die Cartan-Ableitung verallgemeinert die Operationen Gradient, Divergenz und Rotation in folgender Weise:

 

Literatur

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  • I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 6. Auflage. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2006, ISBN 3-8171-2006-0.
  • K. Simonyi: Theoretische Elektrotechnik. 9. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1989.
  • G. E. Joos, E. Richter: Höhere Mathematik. 13. Auflage. Nikol-Verlag, Hamburg 2012.

Einzelnachweise

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  1. Horst Stöcker: Mathematik - Der Grundkurs: Analysis für Ingenieurstudenten, Band 2. Harri Deutsch, 1996, ISBN 3-8171-1340-4, S. 173.
  2. Horst Stöcker: Mathematik - Der Grundkurs: Analysis für Ingenieurstudenten, Band 2. Harri Deutsch, 1996, ISBN 3-8171-1340-4, S. 173–174.
  3. Horst Stöcker: Mathematik - Der Grundkurs: Analysis für Ingenieurstudenten, Band 2. Harri Deutsch, 1996, ISBN 3-8171-1340-4, S. 174.
  4. E. Zeidler (Hrsg.): Springer-Taschenbuch der Mathematik / begr. von I. N. Bronstein und K. A. Semendjaew. Weitergeführt von G. Grosche. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-8351-0123-4, S. 378.
  5. V.I. Arnol'd: Mathematical Methods of Classical Mechanics, Second Edition. Hrsg.: S. Axler, F.W. Gehring, K.A. Ribet. Springer Science+Business Media, New York 1989, ISBN 0-387-96890-3, S. 190.