Die dualen C*-Algebren, auch C*-Algebren kompakter Operatoren genannt, sind eine spezielle Unterklasse von in der Mathematik betrachteten C*-Algebren. Sie zeichnen sich durch eine besonders einfache Struktur aus.

Definition

Bearbeiten

Ist   eine Teilmenge einer Algebra  , so heißt   der Links-Annullator von  . Entsprechend heißt   der Rechts-Annullator von  . Ganz allgemein nennt man eine Banachalgebra dual, wenn folgende Dualitätsbeziehungen bestehen:

  •   für alle abgeschlossenen Linksideale  ,
  •   für alle abgeschlossenen Rechtsideale  .

Bei C*-Algebren folgt jede der Bedingungen aus der jeweils anderen, da sich Links- und Rechtideale via Involution eineindeutig entsprechen.

Charakterisierungen

Bearbeiten

Eine C*-Algebra heißt elementar, wenn es einen Hilbertraum   gibt, so dass sie isomorph zur Algebra   der kompakten Operatoren auf   ist. Das eingeschränkte Produkt einer Familie   von C*-Algebren ist die Unteralgebra des kartesischen Produktes der  , die aus allen Tupeln   besteht, für die   für jedes   endlich ist. Zusammen mit der Norm   ist dies wieder einer C*-Algebra. Mit diesen Begriffsbildungen gilt nun:

Für eine C*-Algebra   sind folgende Aussagen äquivalent:

  •   ist eine duale C*-Algebra.
  • Die Summe der minimalen Linksideale liegt dicht in  .
  • Die Summe der minimalen Rechtsideale liegt dicht in  .
  •   ist isomorph zu einer Unter-C*-Algebra einer elementaren C*-Algebra.
  •   ist isomorph zu einem eingeschränkten Produkt einer Familie elementarer C*-Algebren.
  • Das Gelfand-Spektrum jeder maximalen kommutativen Unter-C*-Algebra ist diskret.
  • Für jedes   ist der Operator der Linksmultiplikation   ein schwach-kompakter Operator.
  • Für jedes   ist der Operator der Rechtsmultiplikation   ein schwach-kompakter Operator.

Dabei heißt ein Operator schwach-kompakt, wenn das Bild einer beschränkten Menge in der schwachen Topologie einen kompakten Abschluss hat.

Wegen dieser Charakterisierung nennt man duale C*-Algebren auch C*-Algebren kompakter Operatoren.

Beispiele

Bearbeiten
  • Die Matrizen-Algebren     sind elementar und daher dual, allgemeiner sind alle endlich-dimensionalen C*-Algebren dual.
  • Die Folgenalgebra   der komplexen Nullfolgen ist eingeschränktes Produkt von abzählbar vielen Kopien von   und daher dual.
  • Ist   ein Hilbertraum und ist   eine Unter-C*-Algebra von  , so ist   dual. Nach obiger Charakterisierung erhält man so bis auf Isomorphie alle dualen C*-Algebren.
  • Die Funktionenalgebra   ist nicht dual, denn sie ist kommutativ und hat kein diskretes Gelfand-Spektrum. Aus demselben Grunde sind die Folgenalgebren   und   der konvergenten bzw. beschränkten Folgen nicht dual.

Eigenschaften

Bearbeiten
  • Aus obigen Charakterisierungen ergibt sich leicht, dass Unter-C*-Algebren von dualen C*-Algebren und eingeschränkte Produkte dualer C*-Algebren wieder dual sind.
  • Die Darstellungstheorie dualer C*-Algebren ist sehr einfach. Liegt die C*-Algebra als eingeschränktes Produkt elementarer C*-Algebren   vor, so sind die irreduziblen Darstellungen bis auf Äquivalenz genau die Projektionen auf die Komponenten  .