Cent (Musik)

Maßeinheit für musikalische Intervalle

Das Cent (von lat. centum „hundert“) ist eine additive Maßeinheit (genauer: Hilfsmaßeinheit), mit der ein sehr genauer Vergleich der Größen musikalischer Intervalle möglich ist.

Physikalische Einheit
Einheitenname Cent
Einheitenzeichen ¢,
Physikalische Größe Tonhöhenintervall
Formelzeichen
Diatonische Intervalle
Prime
Sekunde
Terz
Quarte
Quinte
Sexte
Septime
Oktave
None
Dezime
Undezime
Duodezime
Tredezime
Halbton/Ganzton
Besondere Intervalle
Mikrointervall
Komma
Diësis
Limma
Apotome
Ditonus
Tritonus
Wolfsquinte
Naturseptime
Maßeinheiten
Cent
Millioktave
Oktave
Savart

Definition

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Das Cent ist definiert durch:

100 Cent = 1 gleichstufiger Halbton

Da eine Oktave zwölf Halbtöne umfasst, gilt auch:

1200 Cent = 1 Oktave

Das Cent ist genormt in DIN 13320 (siehe unten).

Anwendung

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Aus der additiven Struktur der Intervallgrößen folgt:

1 Oktave = 1200 Cent
2 Oktaven = 2400 Cent
3 Oktaven = 3600 Cent
usw.

Bekanntermaßen sind zum Beispiel 12 gleichstufige Quinten = 7 Oktaven, also umfasst 1 gleichstufige Quinte 700 Cent (in reiner Stimmung dagegen – siehe unten – ungefähr 702 Cent.)

Da dies dem additiven Intervall-Empfinden des Gehörs (Hörereignisses) entspricht, ist der Vergleich von Tonhöhen, Tonsystemen und Stimmungen mittels der Einheit Cent praxisnäher als Angaben zu Frequenz-Verhältnissen, bei denen ein Größenvergleich nicht unmittelbar möglich ist. Centangaben ermöglichen einerseits eine höhere Anschaulichkeit beim Größenvergleich verschiedener Intervalle; andererseits können aber rationale Zahlen, die ja vielen Stimmungssystemen zu Grunde liegen, und alle Centangaben (bis auf die Vielfachen von 1200) immer nur näherungsweise gleichgesetzt werden.

Entstehung

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Die Bezeichnung Cent wurde 1875 von Alexander John Ellis (1814–1890) im Anhang zu seiner Übersetzung von Hermann von HelmholtzLehre von den Tonempfindungen als Einheit zum Größenvergleich von Intervallen vorgeschlagen.

Die Cent-Einheit ist so gewählt, dass wahrnehmbare Tonhöhenunterschiede hinreichend genau als ganzzahlige Vielfache von Cents ausgedrückt werden können. Grob kann angenommen werden, dass der kleinste erkennbare Frequenzunterschied für nacheinander erklingende Sinustöne beim Menschen bei Frequenzen ab 1000 Hz bei etwa drei bis sechs Cent liegt; bei gleichzeitigem Erklingen sind durch Schwebungseffekte noch wesentlich geringere Intervallunterschiede hörbar.

Bei größeren Tonabständen lassen sich Intervallgrößen durch Schwebungen der harmonischen Obertöne, die in musikalisch verwendeten Tönen meistens vorhanden sind, sehr genau bestimmen. Hingegen steigt bei tiefen Sinustönen mit geringer empfundener Lautstärke (trotz hohem Schalldruckpegel) die Unterscheidungsschwelle auf über 100 Cent, also mehr als einen Halbton.

Die Messung der Intervallgröße

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Die Größe von Intervallen wird mit Hilfe der Maßeinheit Oktave und deren Untereinheit Cent gemessen. Das Oktavmaß und Centmaß ist proportional zur Intervallgröße. Der Maßeinheit Oktave entspricht das Frequenzverhältnis p = 2:1.

Beispiel
Intervall Frequenzverhältnis
(in reiner Stimmung)
Größe in Cent
1 Oktave 2 1200 Cent
2 Oktaven 4 2400 Cent
3 Oktaven 8 3600 Cent
k Oktaven 2k 1200 Cent · k
log2(p) Oktaven
(Beachte:  )
p 1200 Cent · log2(p)
kleine Terz 65 1200 Cent · log2(65) ≈ 315,641 Cent
große Terz 54 1200 Cent · log2(54) ≈ 386,314 Cent
Quarte 43 1200 Cent · log2(43) ≈ 498,045 Cent
Quinte 32 1200 Cent · log2(32) ≈ 701,955 Cent

Werden Intervalle hintereinander ausgeführt, so kann man ihre Größen addieren, während ihre Frequenzverhältnisse (Proportionen) multipliziert werden müssen.

Beispiele:
reine Quinte + reine Quarte ≈ 702 Cent + 498 Cent = 1200 Cent = Oktave. (Frequenzverhältnisse: 3/2·4/3 = 2/1.)
reine kleine Terz + reine große Terz ≈ 316 Cent + 386 Cent = 702 Cent ≈ reine Quinte. (Frequenzverhältnisse: 6/5·5/4 = 3/2.)

Anwendungen in der musikalischen Praxis

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Mit der Einheit Cent lassen sich die feinen Unterschiede der Intervalle in den verschiedenen mitteltönigen und wohltemperierten Stimmungen gut darstellen, z. B. die leichten Verstimmungen gegenüber reinen Quinten und Terzen, die in Kauf genommen werden müssen, um möglichst viele Tonarten (bei einer zwölfstufigen Skala der Oktave) spielbar zu machen:

  • bei den mitteltönigen Stimmungen treten Abweichungen bis etwa 8 Cent auf, wenn nur C-Dur-nahe Akkorde verwendet werden:
Beispiel
c1 – g1
reine Quinte

702 Cent

(Keine Schwebungen)

mitteltönige Quinte

697 Cent

(Leichte Schwebungen)

  • mit bis zu 14 Cent Abweichung hat man sich abzufinden, wenn man auf Tasteninstrumenten auch Tonleitern nutzen will, die weiter von C-Dur entfernt sind. Dabei wird ausgenutzt, dass das menschliche Gehör sich „die Intervalle zurechthört“:
Beispiel
a0 – cis1
(erst die Terz, dann im Akkord)
reine große Terz (220 Hz und 275 Hz)

386 Cent

(Keine Schwebungen)

gleichstufige große Terz (220 Hz und 277 Hz)

400 Cent

(viele Schwebungen: das Intervall klingt rau)

  • noch größere Abweichungen wie etwa die Wolfsquinte der mitteltönigen Stimmung bei stark von C-Dur entfernten Tonarten werden von Musikern nicht geduldet.

Tabellen der mehr oder weniger reinen Terzen und Quinten in verschiedenen Stimmungssystemen: siehe Stimmung.

Umrechnung

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Frequenzverhältnis in Cent

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Gegeben sei das Frequenzverhältnis (die Proportion)   eines beliebigen Intervalls.[1] Das Intervallmaß   errechnet sich dann nach der Definitionsformel logarithmisch:

  (siehe Tabelle Die Messung der Intervallgröße)

Mit

 

erhalten wir:

 

Nach Umrechnung des Zweier-Logarithmus in einen Logarithmus mit beliebiger anderer Basis   über   entsteht eine für Taschenrechner mit ln-Funktion bequem handhabbare Gleichung:

 

Bei den Dreiklangsintervallen erhält man folgende Umrechnung:

Frequenzverhältnis   Intervall   in Cent Intervall
    reine kleine Terz
    reine große Terz
    reine Quinte

Cent in Frequenzverhältnis

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Die umgekehrte Umrechnung eines beliebigen in Cent angegebenen Intervalls   in das Frequenzverhältnis   wird seltener benötigt. Dafür löst man die Gleichung    nach   auf, indem man beide Seiten durch 1200 Cent dividiert und anschließend zur Basis 2 potenziert (dadurch wird auf der einen Seite der Logarithmus entfernt):

 

Bei den Dreiklangsintervallen erhält man folgende Umrechnung:

Intervall   in Cent Frequenzverhältnis   Intervall
i = 316 Cent   reine kleine Terz
i = 386 Cent   reine große Terz
i = 702 Cent   reine Quinte

Cent in Millioktave

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1 Cent =   Millioktaven ≈ 0,8333 Millioktaven

Cent in Savart

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1 Cent =   Savart ≈ 0,2509 Savart

Berechnung von Frequenzen

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Der oben genannte Faktor   ist das Frequenzverhältnis eines Tonunterschieds von einem Cent. Die Frequenzberechnung erfolgt daher mit dieser Zahl als Basis und dem Intervall in Cent im Exponenten.

Beispiele einiger als Stimmton a’ verwendeter Frequenzen, ausgehend von 440 Hz:

  • Erhöhung um 100 Cent:  
  • Erhöhung um 1 Cent:  
  • Verringerung um 1 Cent:  
  • Verringerung um 100 Cent:  

Beispiel aus der Musiktheorie

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Der Ton a1 hat die Frequenz von 440 Hz. Der Ton c2 liegt eine kleine Terz darüber.

Der Ton c2 hat demnach

  • in reiner Stimmung (Frequenzverhältnis 6:5 der kleinen Terz) die Frequenz  
  • in gleichstufiger Stimmung (kleine Terz = 3 Halbtöne = 300 Cent) die Frequenz  .

DIN-Norm

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Nach DIN 13320 „Akustik; Spektren und Übertragungskurven; Begriffe, Darstellung“[2] bezeichnet „Cent“ ein Frequenzmaßintervall, dessen Frequenzverhältnis   beträgt. Das Cent kann wie eine Einheit benutzt werden; somit kann das Frequenzmaßintervall der Frequenzen f1 und f2 > f1 bezeichnet werden als  .

Absolutes Cent

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Man kann auch dem gesamten Frequenzbereich eine Skala fester Cent-Werte zuordnen. Dieses absolute Cent ist dann eine Maßeinheit der Tonhöhe, nicht der Intervallgröße. Es wird 1 Hz = 0 Cent gesetzt. Daraus ergeben sich: 2 Hz = 1200 Cent, 4 Hz = 2400 Cent usw. mit den entsprechenden Zwischenwerten.[3]

Siehe auch

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Literatur

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Einzelnachweise und Anmerkungen

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  1. Im Normalfall sollte   sein. Wenn es umgekehrt ist, wird das Umrechnungsergebnis negativ mit dem gleichen Absolutwert.
  2. https://www.beuth.de/de/norm/din-13320/515781 Webseite zur DIN 13320 beim Beuth Verlag
  3. Riemann Musiklexikon. Sachteil. Mainz 1967, S. 150.