Entspricht der Identitätsmatrix im euklidschen Raum
![{\displaystyle \delta _{\color {Brown}n}^{\color {Brown}m}={\delta ^{\color {Brown}m}}_{\color {Brown}n}={\delta _{\color {Brown}n}}^{\color {Brown}m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aac7c99cada27d4961a430683998d092db196728)
Die Spur (der Trace) gibt die Anzahl der Dimensionen zurück
![{\displaystyle \delta _{\color {Brown}m}^{\color {Brown}m}=\delta _{\color {Brown}1}^{\color {Brown}1}+\delta _{\color {Brown}2}^{\color {Brown}2}+\ldots +\delta _{\color {Brown}d}^{\color {Brown}d}=d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0afb23588d6a5337b3dbc458eba516a0fc62490)
Um zwischen der kontravarianten und der kontravarianten Komponentendarstellung zu wechseln, verwendet man den metrische Tensor
,
sowie dessen Inverses :
.
Den metrischen Tensor erhält man hierbei über
,
während man den inversen metrischen Tensor über den Zusammenhang
![{\displaystyle g^{\color {Brown}mr}\,g_{\color {Brown}rn}=\delta _{\color {Brown}n}^{\color {Brown}m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87700a0810084400a14e2f4830bfa7cab0c71a8e)
erhält.
Der metrische Tensor kann zur Messung der Länge einer Kurve verwendet werden.
- Levi-Civita-Symbol, auch Permutationssymbol, total antisymmetrischer Tensor oder Epsilon-Tensor
- Entspricht der Determinante im Euklidschen Raum
![{\displaystyle \varepsilon _{ijk\dots }=\prod _{1\leq p<q\leq n}{\frac {i_{p}-i_{q}}{p-q}}={\begin{cases}+1,&{\mbox{falls }}(i,j,k,\dots ){\mbox{ eine gerade Permutation von }}(1,2,3,\dots ){\mbox{ ist,}}\\-1,&{\mbox{falls }}(i,j,k,\dots ){\mbox{ eine ungerade Permutation von }}(1,2,3,\dots ){\mbox{ ist,}}\\0,&{\mbox{wenn mindestens zwei Indizes gleich sind.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b08524d83f75219042369261ac69fbbb668dc4a0)
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