Benutzer:MovGP0/Mathematik/Dreiecksnotation

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Physik Mathematische Grundlagen Mathematik für ET Semester 1 • Semester 2 • Semester 3 Mathematik Kombinatorik und Permutationen • Ableitung • Dreiecksnotation • Gradient, Divergenz, Rotation • Metrischer Tensor • Christoffelsymbole • Krümmungstensor • Energie-Impuls-Tensor • Kosmologische Konstante Quantenmechanik mit Matrizen Imaginäre und komplexe Zahlen • Vektoren • Matrizen • Jacobi-Matrizen • Pauli-Matrizen • Hermitesche Matrizen Lineare Algebra und Tensoren Tensornotation • Tensoren • Dirac-Notation • Körper • Vektorraum Gruppentheorie Gruppen, Lie Gruppen, Lie Algebren Dreiecksnotation Die Dreiecksnotation (englisch: triangle notation, triangle of power) ist eine alternative Schreibweise in der Analysis um die Beziehung zwischen Exponentialfunktion, Wurzel und Logarithmus darzustellen. Hierbei gilt: $x^{y}=z\Leftrightarrow {\sqrt[{y}]{z}}=x\Leftrightarrow \log _{x}z=y\Leftrightarrow {\stackrel {y}{_{x}\triangle _{z}}}$ Durch die Dreiecksnotation werden die drei unterschiedlichen Schreibweisen für das selbe Konzept zu einer einzigen Schreibweise vereinheitlicht. Darstellung von Identitäten Ein weiterer Vorteil der Dreiecksnotation besteht in der intuitiv erfassbaren Darstellung der Rechenregeln von Identitäten. übliche Schreibweise Dreiecksnotation $\log _{x}(x^{y})=y$ ${\stackrel {}{_{x}\triangle _{\stackrel {y}{_{x}\triangle _{}}}}}=y$ $x^{\log _{x}(z)}=z$ ${\stackrel {\stackrel {}{_{x}\triangle _{z}}}{_{x}\triangle _{\ }}}=z$ ${\sqrt[{y}]{x^{y}}}=x$ ${\stackrel {y}{\triangle }}_{\stackrel {y}{_{x}\triangle _{}}}=x$ $({\sqrt[{y}]{z}})^{y}=z$ $_{\stackrel {y}{_{}\triangle _{z}}}{\stackrel {y}{\triangle }}=z$ $\log _{\sqrt[{y}]{z}}(z)=y$ $_{\stackrel {y}{_{\ }\triangle _{z}}}{\stackrel {}{\triangle _{z}}}=y$ ${\sqrt[{\log _{x}(z)}]{z}}=x$ ${\stackrel {\stackrel {}{_{x}\triangle _{z}}}{_{\ }\triangle _{z}}}=x$ Anstatt von 6 unterschiedlichen Rechenregeln muss in diesen Fällen nur noch eine Rechenregel (doppelte Indizes an der selben Stelle werden gekürzt) memoriert werden. Rechenregeln mit mehrfacher Variable Für den Fall, dass eine Variable mehrfach aufscheint ist gelten besondere Rechenregeln. Basis In dem Fall, dass die Basis mehrfach aufscheint gilt, dass die Exponenten addiert werden, während die Radikanten multipliziert werden: übliche Schreibweise Dreiecksnotation $x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}$ ${\stackrel {a}{_{x}\triangle _{\ }}}\cdot {\stackrel {b}{_{x}\triangle _{\ }}}$$={}{\stackrel {a+b}{_{x}\triangle _{\ }}}$ $\log _{x}(a\cdot b)=\log _{x}{a}+\log _{x}{b}$ ${\stackrel {}{_{x}\triangle _{a\cdot b}}}$$={}{\stackrel {}{_{x}\triangle _{a}}}+{\stackrel {}{_{x}\triangle _{b}}}$ Exponent In dem Fall, dass der Exponent mehrfach auftritt gilt, dass sowohl Basen als auch Radikanten multipliziert werden: übliche Schreibweise Dreiecksnotation $a^{x}b^{x}=(ab)^{x}$ ${\stackrel {x}{_{a}\triangle _{\ }}}\cdot {\stackrel {x}{_{b}\triangle _{\ }}}={\stackrel {x}{_{ab}\triangle _{\ }}}$ ${\sqrt[{x}]{a}}\cdot {\sqrt[{x}]{b}}={\sqrt[{x}]{ab}}$ ${\stackrel {x}{_{\ }\triangle _{a}}}\cdot {\stackrel {x}{_{\ }\triangle _{b}}}={\stackrel {x}{_{\ }\triangle _{ab}}}$ Radikant In dem Fall, dass der Radikant mehrfach aufscheint gilt, dass die Basen multipliziert und die Exponenten parallelisiert werden: übliche Schreibweise Dreiecksnotation ${\sqrt[{a}]{x}}\|{\sqrt[{b}]{x}}={\sqrt[{a\|b}]{x}}$ ${\stackrel {a}{_{\ }\triangle _{x}}}\|{\stackrel {b}{_{\ }\triangle _{x}}}={\stackrel {a\|b}{_{\ }\triangle _{x}}}$ $\log _{a}{x}\|\log _{b}{x}=\log _{ab}{x}$ ${\stackrel {}{_{a}\triangle _{x}}}\|{\stackrel {}{_{b}\triangle _{x}}}={\stackrel {}{_{a\|b}\triangle _{x}}}$ Weitere Rechenreglen Im Folgenden werden beispielhaft einige Rechenregeln aufgelistet. übliche Schreibweise Dreiecksnotation ${\frac {x^{a}}{x^{b}}}=x^{a-b}$ ${\frac {\stackrel {a}{_{x}\triangle _{\ }}}{\stackrel {b}{_{x}\triangle _{\ }}}}$$={}{\stackrel {a-b}{_{x}\triangle _{\ }}}$ $\log _{x}{\frac {a}{b}}=\log _{x}a-\log _{x}b$ ${\stackrel {}{_{x}\triangle _{\frac {a}{b}}}}$$={}{\stackrel {}{_{x}\triangle _{a}}}-{\stackrel {}{_{x}\triangle _{b}}}$ $(x^{a})^{b}=x^{a\,b}$ $_{\stackrel {a}{_{x}\triangle _{\ }}}{\stackrel {b}{\triangle }}$$={}{\stackrel {a\,b}{_{x}\triangle _{\ }}}$ $\log _{x}{a^{b}}=b\cdot \log _{x}a$ ${\stackrel {}{_{x}\triangle }}_{\stackrel {b}{_{a}\triangle _{\ }}}$$=b\cdot {\stackrel {}{_{x}\triangle }}_{a}$ $x^{-a}={\frac {1}{x^{a}}}$ ${\stackrel {-a}{_{x}\triangle _{\ }}}$$={\frac {1}{\stackrel {a}{_{x}\triangle _{\ }}}}$ $\log _{x}{\frac {1}{a}}=-\log _{x}{a}$ ${\stackrel {}{_{x}\triangle _{\frac {1}{a}}}}$$=-{\stackrel {}{_{x}\triangle _{a}}}$ $x^{\frac {1}{y}}={\sqrt[{y}]{x}}$ ${\stackrel {\frac {1}{y}}{_{x}\triangle _{\ }}}$$={\stackrel {y}{_{\ }\triangle _{x}}}$ $\log _{a}c={\frac {\log _{b}{c}}{\log _{b}{a}}}$ ${\stackrel {}{_{a}\triangle _{c}}}$$={\frac {\stackrel {}{_{b}\triangle _{c}}}{\stackrel {}{_{b}\triangle _{a}}}}$ Quellen