Triangulierung offener Mengen in ℝn

(Weitergeleitet von Zerlegung offener Mengen in R^n)

Als Triangulierung offener Mengen in werden bestimmte simpliziale Zerlegungen von Gebieten bezeichnet. Man spricht daher auch von einer Zerlegung offener Mengen in . Mit ist der -dimensionale Koordinatenraum mit den reellen Zahlen als Koordinaten gemeint. Solche Triangulierungen werden weiter klassifiziert und sind vor allem in der numerischen Berechnung (wie zum Beispiel bei der Finite-Elemente-Methode) wichtig.

Zulässige Triangulierung

Bearbeiten

Sei   ein Gebiet, also eine offene, zusammenhängende Teilmenge. Weiter sei   eine Triangulierung von  , also eine Zerlegung in Simplizes.

  heißt nun zulässig[1][2], falls gilt:

  1. Besteht der Durchschnitt   genau aus einem Punkt, so ist dieser Punkt ein Eckpunkt von   und von  .
  2. Besteht der Durchschnitt   für   aus mehr als einem Punkt, so ist   eine Kante von   und  .

Quasiuniforme Triangulierung

Bearbeiten

Die Familie von Triangulierungen   heißt quasiuniform oder shape-regular , wenn es eine Zahl   gibt, so dass für jedes   gilt  . Dabei sind   der halbe Durchmesser von   und   der Innendurchmesser des Elements  .   darf höchstens einen Durchmesser   haben (wobei   die Gitterweite ist).[2] Bei einer Dreieckszerlegung bedeutet dies, dass der minimale Innenwinkel aller Dreiecke nach unten beschränkt ist.

Uniforme Triangulierung

Bearbeiten

Die Familie von Triangulierungen   heißt uniform, wenn es eine Zahl   gibt, so dass für jedes   gilt  .   darf höchstens einen Durchmesser   haben.[2] Uniformität verhindert eine extreme Verfeinerung in einem Teilgebiet.

Leider werden diese Definitionen nicht einheitlich verwendet, bei manchen Autoren bedeutet Quasiuniformität, dass eine Triangulierung die beiden genannten Eigenschaften besitzt.

Anisotrope Triangulierung

Bearbeiten

Besitzt ein Problem anisotropen Charakter, d. h., in unterschiedlichen Richtungen variiert die Lösung stark, benötigt man anisotrope Triangulierungen zur Approximation der Lösung, z. B. bei der Finite-Elemente-Methode. Anisotrope Rechteckgitter z. B. besitzen stark unterschiedliche Schrittweiten in den beiden Koordinatenrichtungen und sind deshalb nicht quasiuniform. Beispiele für Probleme mit anisotropem Charakter sind singuläre Probleme mit Ecken und Kanten oder Probleme vom Typ Singuläre Störung. Bei letzteren werden anisotrope grenzschichtangepasste Gitter eingesetzt. Die Analysis der Finite-Elemente-Methode auf anisotropen Gittern und viele Beispiele für Probleme des genannten Typs findet man bei Thomas Apel, Anisotropic finite elements, Stuttgart 1999. Ansonsten sind Aussagen über anisotrope Gitter nur in einer Reihe weit verstreuter wissenschaftlicher Einzelarbeiten zu finden.

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. Wolfgang Arendt, Karsten Urban: Partielle Differenzialgleichungen - Eine Einführung in analytische und numerische Methoden. Spektrum Akademischer Verlag, 2010, ISBN 978-3-8274-2237-8, S. 298, doi:10.1007/978-3-8274-2237-8 (springer.com).
  2. a b c Dietrich Braess: Finite Elemente - Theorie, schnelle Löser und Anwendungen in der Elastizitätstheorie. 4. Auflage. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, Berlin, Heiderberg 2007, ISBN 978-3-540-72450-6, S. 58, doi:10.1007/978-3-540-72450-6.