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Widerstandsmoment

Größe in der Technischen Mechanik

Als Widerstandsmoment wird in der technischen Mechanik eine allein aus der Geometrie (Form und Maße) eines Balkenquerschnitts abgeleitete Größe bezeichnet. Sie ist ein Maß dafür, welchen Widerstand ein Balken bei Belastung der Entstehung innerer Spannungen entgegensetzt.

  • Bei der Belastung Biegen wird vom axialen oder Biegewiderstandsmoment gesprochen
  • beim Verwinden (Torsion) wird vom polaren Widerstandsmoment oder Torsionswiderstandsmoment gesprochen.

Das Widerstandsmoment eines Querschnitts steht in einfachem geometrischen Zusammenhang mit dem Flächenträgheitsmoment, mit dessen Hilfe bei der Querschnitts-Bemessung die Verformung eines Balkens bei Belastung berechnet wird (siehe auch Steifigkeit). Widerstandsmoment und Flächenträgheitsmoment sind, in Abhängigkeit von den typischen Abmessungen geometrisch einfacher Flächen und standardisierter Materialprofile (z. B. Stahlprofile), in allgemeinen technischen Handbüchern enthalten, oft in gemeinsamen Tabellen.

GrundlagenBearbeiten

Bei Kräften senkrecht zu einer Bezugsachse will die Kraft den Körper biegen bzw. – sofern ein Hebel vorhanden – um diese Achse drehen. Wird die Drehung durch Einspannung verhindert, entsteht ein Biege- oder Torsionsmoment. Widerstandmomente werden immer in Bezug auf die jeweilige Momentenachse berechnet.

BerechnungBearbeiten

Das Widerstandsmoment ist definiert als:

 

mit

Die Einheit des Widerstandsmoments ist  .

Für symmetrische Querschnitte sind die Widerstandsmomente in den Randfasern parallel zur Symmetrieachse gleich. Deshalb sind auch die Spannungen in diesen Fasern gleich, wenn die Biegekräfte senkrecht zu dieser Symmetrieachse wirken.

AnwendungBearbeiten

Bei einer rein elastischen Verformung werden die in den Randfasern auftretenden maximalen Spannungen ermittelt durch:

 

mit

und durch:

 

mit

Die so ermittelten maximal auftretenden Spannungen werden mit den vom Werkstoff erträglichen Spannungen (Festigkeit) verglichen, um zu überprüfen, ob der Balken versagt.

BeispieleBearbeiten

Anmerkung: Für nicht kreisförmige Querschnitte können zwar die polaren Widerstandsmomente berechnet werden. Sie besitzen jedoch wenig praktische Bedeutung, da die Verteilung der Torsionsspannung für derartige Querschnitte anderen Gesetzen unterliegt.

Für ein Rechteck mit der Breite b parallel zur y-Achse und der Höhe h ist das Widerstandsmoment bezüglich der Horizontalachse
 
Für dasselbe Rechteck ist das Widerstandsmoment bezüglich der Vertikalachse
 
für ein Quadrat mit der Seitenlänge a = b = h vereinfacht sich das Widerstandsmoment zu
 
Für einen Kreis mit Durchmesser  
 
 
Für einen Kreisring mit Außendurchmesser D und Innendurchmesser d ist das Widerstandsmoment
 
 
Für ein Trapez mit der Basis B parallel zur y-Achse und der Höhe h
 
 
  • Hohlprofil (Rechteckrohr)
Für ein Rechteckrohr (Vierkantrohr) mit der Außenbreite/-Höhe   und  , der Innenbreite   und  ; außerdem muss das Profil symmetrisch sein, d. h. die gegenüberliegenden Wandstärken müssen gleich groß sein
 
 
Für dünnwandige Rechteckprofile mit der gleichmäßigen Wandstärke   ist das Torsionswiderstandsmoment  
 
oder
 

Siehe auchBearbeiten