Widerstandsmoment

Größe in der Technischen Mechanik

Als Widerstandsmoment wird in der technischen Mechanik eine allein aus der Geometrie (Form und Maße) eines Balkenquerschnitts abgeleitete Größe bezeichnet. Sie ist ein Maß dafür, welchen Widerstand ein Balken bei Belastung der Entstehung innerer Spannungen entgegensetzt. Der Begriff des Widerstandsmomentes geht auf Friedrich Laissle (1829–1907) und Adolf von Schübler (1829–1904) zurück, die 1857 bei einfachsymmetrischen Querschnitten von „Widerstandsvermögen gegen Druck bzw. Zug“ sprachen.[1]

  • Bei der Belastung Biegen wird vom axialen oder Biegewiderstandsmoment gesprochen
  • beim Verwinden (Torsion) wird vom polaren Widerstandsmoment oder Torsionswiderstandsmoment gesprochen.

Das Widerstandsmoment eines Querschnitts steht in einfachem geometrischen Zusammenhang mit dem Flächenträgheitsmoment, mit dessen Hilfe bei der Querschnitts-Bemessung die Verformung eines Balkens bei Belastung berechnet wird (siehe auch Steifigkeit). Widerstandsmoment und Flächenträgheitsmoment sind, in Abhängigkeit von den typischen Abmessungen geometrisch einfacher Flächen und standardisierter Materialprofile (z. B. Stahlprofile), in allgemeinen technischen Handbüchern enthalten, oft in gemeinsamen Tabellen.

Grundlagen

Bearbeiten

Bei Kräften senkrecht zu einer Bezugsachse will die Kraft den Körper biegen bzw. – sofern ein Hebel vorhanden – um diese Achse drehen. Wird die Drehung durch Einspannung verhindert, entsteht ein Biege- oder Torsionsmoment. Widerstandmomente werden immer in Bezug auf die jeweilige Momentenachse berechnet.

Berechnung

Bearbeiten

Das Widerstandsmoment ist definiert als:

 

mit

Die Einheit des Widerstandsmoments ist  .

Für symmetrische Querschnitte sind die Widerstandsmomente in den Randfasern parallel zur Symmetrieachse gleich. Deshalb sind auch die Spannungen in diesen Fasern gleich, wenn die Biegekräfte senkrecht zu dieser Symmetrieachse wirken.

Anwendung

Bearbeiten

Bei einer rein elastischen Verformung werden die in den Randfasern auftretenden maximalen Spannungen ermittelt durch:

 

mit

und durch:

 

mit

  •  : maximale Tangentialspannung (Schubspannung)
  •  : Torsionsmoment um die Bezugsachse
  •  : polares Flächenträgheitsmoment.
  •  : maximaler senkrechter Abstand der Randfaser zur neutralen Faser

Die so ermittelten maximal auftretenden Spannungen werden mit den vom Werkstoff erträglichen Spannungen (Festigkeit) verglichen, um zu überprüfen, ob der Balken versagt.

Beispiele

Bearbeiten
 
Rechteck und Kreis

Anmerkung: Für nicht kreisförmige Querschnitte können zwar die polaren Widerstandsmomente berechnet werden. Sie besitzen jedoch wenig praktische Bedeutung, da die Verteilung der Torsionsspannung für derartige Querschnitte anderen Gesetzen unterliegt.

Für ein Rechteck mit der Breite   parallel zur y-Achse und der Höhe   ist das Widerstandsmoment bezüglich der Horizontalachse
 
Für dasselbe Rechteck ist das Widerstandsmoment bezüglich der Vertikalachse
 
für ein Quadrat mit der Seitenlänge   vereinfacht sich das Widerstandsmoment zu
 
Für einen Kreis mit Durchmesser  
 
 
 
Kreisring
Für einen Kreisring mit Außendurchmesser   und Innendurchmesser   ist das Widerstandsmoment
 
 
 
Trapez
Für ein Trapez mit der Basis   parallel zur y-Achse und der Höhe  
 
 
 
Rechteckrohr
  • Hohlprofil (Rechteckrohr)
Für ein Rechteckrohr (Vierkantrohr) mit der Außenbreite/-Höhe   und  , der Innenbreite   und  ; außerdem muss das Profil symmetrisch sein, d. h. die gegenüberliegenden Wandstärken müssen gleich groß sein
 
 
Für dünnwandige Rechteckprofile mit der gleichmäßigen Wandstärke   ist das Torsionswiderstandsmoment  
 
oder
 
Für Profile bestehend aus   Rechteckquerschnitten, welche jeweils die Breiten   und die Höhen   mit   besitzen, lässt sich das Torsionswiderstandsmoment angenähert berechnen als
 
Profil n η
I-Profil 3 ≈1,3
Winkelprofil 2 ≈1,0
T-Profil 2 1,12
U-Profil 3 1<η<1,3
Plus-Profil 2 1,17

Siehe auch

Bearbeiten

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. Karl-Eugen Kurrer: The History of the Theory of Structures. Searching for Equilibrium. Ernst & Sohn, Berlin, ISBN 978-3-433-03229-9, S. 449.
  2. Kurt Gieck, Reiner Gieck: Technische Formelsammlung. Carl Hanser Verlag, ISBN 978-3-446-46115-4. hanser-elibrary.com