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Volltorus

In der Mathematik ist ein Volltorus ein 3-dimensionales Gebilde mit genau einem Henkel. Es wird von einem Torus berandet.

Inhaltsverzeichnis

Volltorus als RotationskörperBearbeiten

Die Menge der Punkte, die von einer Kreislinie mit Radius   den Abstand   für ein festes   haben, ist ein Volltorus. Man erhält ihn also durch Rotation der Kreisfläche vom Radius   um eine in der Kreisebene liegende und den Kreis nicht schneidende Rotationsachse, deren Abstand   vom Kreismittelpunkt größer als der Radius der Kreisfläche ist.

ParametrisierungBearbeiten

Eine Parametrisierung des Volltorus ist

 

mit  .

Volumen des VolltorusBearbeiten

Das Volumen des Volltorus lässt sich als Dreifachintegral über die Jacobi-Determinante (die Determinante der Funktionalmatrix) berechnen. Die Jakobi-Matrix lässt sich zur Parametrisierung des Volltorus wie folgt angeben:

 

Daraus folgt:

 

Die Funktionaldeterminante ist hier also gleich der Norm des Flächennormalenvektors.

 

Man erhält also für das Volumen des Volltorus  .

Die Formel für das Volumen lässt sich so interpretieren, dass die Kreisfläche   mit dem Umfang   multipliziert wird. Dies kann man zum Verständnis in Analogie zum Zylindervolumen   setzen. Mit dem Flächeninhalt der Oberfläche verhält es sich genauso, hier werden die Umfänge   und   miteinander multipliziert. Dies steht ebenfalls in Analogie zur Zylinderoberfläche  .

Trägheitsmoment eines VolltorusBearbeiten

Das Trägheitsmoment eines Volltorus mit der Dichte   bezüglich der  -Achse (Symmetrieachse) kann durch

 

berechnet werden. Nun kann man die Transformation auf Toruskoordinaten durchführen. Dabei kommt zusätzlich die Jacobi-Determinante ins Integral.

 

Mit partiellem Integrieren und der Torusmasse   erhält man:

 
 

Volltorus in der TopologieBearbeiten

Ein Volltorus ist ein Henkelkörper vom Geschlecht  . Der Rand des Volltorus ist ein Torus.

Topologisch ist ein Volltorus homöomorph zum Produkt   der Kreisscheibe mit der Kreislinie. Man kann den Volltorus als rotationssymmetrischen Volltorus in den   einbetten.

Seine topologischen Invarianten berechnen sich wie folgt:

 
 

Die 3-Sphäre, also der dreidimensionale Raum zusammen mit einem unendlich fernen Punkt, lässt sich als Vereinigung zweier Volltori darstellen, die sich lediglich in ihrer Oberfläche überlappen. Man erhält sie beispielsweise aus der Hopf-Faserung, indem man den Basisraum   als Vereinigung von Nord- und Südhalbkugel auffasst; über beiden Hälften ist die Faserung trivial. Die Zerlegung der 3-Sphäre in zwei Volltori wird beispielsweise bei der Konstruktion der Reeb-Blätterung ausgenutzt.