Unitäres Element

In der Mathematik nennt man ein Element einer *-Algebra unitär, wenn es invertierbar ist und das adjungierte Element und das inverse Element dasselbe sind.

Definition

Sei ${\mathcal {A}}$ eine *-Algebra mit Einselement $e$ , so heißt ein Element $a\in {\mathcal {A}}$ unitär, falls $aa^{*}=a^{*}a=e$ , also wenn $a$ invertierbar ist und $a^{-1}=a^{*}$ gilt.

Die Menge der unitären Elemente wird mit ${\mathcal {A}}_{U}$ oder $U({\mathcal {A}})$ bezeichnet.

Besonders interessant ist der Fall, bei dem ${\mathcal {A}}$ eine vollständige normierte *-Algebra ist, die die C*-Eigenschaft ( $\left\|a^{*}a\right\|=\left\|a\right\|^{2}\ \forall a\in {\mathcal {A}}$ ) erfüllt, eine sogenannte C*-Algebra.

Kriterien

Sei ${\mathcal {A}}$ eine unitäre C*-Algebra und $a\in {\mathcal {A}}_{N}$ ein normales Element. Genau dann ist $a$ unitär, wenn das Spektrum $\sigma (a)$ nur aus Elementen der Kreisgruppe $\mathbb {T}$ besteht, das heißt $\sigma (a)\subseteq \mathbb {T} =\{\lambda \in \mathbb {C} \mid |\lambda |=1\}$ .

Beispiele

Trivialerweise ist das Einselement $e$ unitär.

Sei ${\mathcal {A}}$ eine unitäre C*-Algebra. Ist $a\in {\mathcal {A}}_{N}$ ein normales Element einer C*-Algebra ${\mathcal {A}}$ , dann definiert jede auf dem Spektrum $\sigma (a)$ stetige Funktion $f$ , mittels stetigem Funktionalkalkül ein unitäres Element $f(a)$ , falls $f(\sigma (a))\subseteq \mathbb {T}$ .

Eigenschaften

Sei ${\mathcal {A}}$ eine unitäre *-Algebra und $a,b\in {\mathcal {A}}_{U}$ . Dann gilt:

Das Element $ab$ ist unitär, da ${\textstyle ((ab)^{*})^{-1}=(b^{*}a^{*})^{-1}=(a^{*})^{-1}(b^{*})^{-1}=ab}$ . Insbesondere bildet ${\mathcal {A}}_{U}$ eine multiplikative Gruppe.
Das Element $a$ ist normal.
Das adjungierte Element $a^{*}$ ist ebenfalls unitär, da $a=(a^{*})^{*}$ für die Involution * gilt.
Wenn ${\mathcal {A}}$ eine C*-Algebra ist, hat $a$ Norm 1, also $\left\|a\right\|=1$ .

Siehe auch

Literatur

Jacques Dixmier: C*-algebras. Aus dem Französischen von Francis Jellett. North-Holland, Amsterdam/New York/Oxford 1977, ISBN 0-7204-0762-1.
Richard V. Kadison, John R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Volume 1 Elementary Theory. Academic Press, New York/London 1983, ISBN 0-12-393301-3.