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Die Umkehrregel (manchmal auch Inversenregel genannt) ist eine Regel der Differentialrechnung. Sie besagt, dass für eine umkehrbare (das heißt bijektive) reelle Funktion ,

  • die an der Stelle differenzierbar ist und
  • dort keine waagerechte Tangente besitzt, d. h. für die gilt,

auch ihre Umkehrfunktion an der Stelle differenzierbar ist mit Ableitung

Die Gültigkeit dieser Gleichung kann man sich gut an einer Skizze verdeutlichen: Die Bildung der Umkehrfunktion entspricht einer Vertauschung der Koordinaten und . Die Graphen der Funktion und ihrer Umkehrfunktion sind also zueinander symmetrisch bezüglich der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten mit der Gleichung . Die Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle entspricht der Steigung der zugehörigen Tangente, also gleich dem Tangens des Neigungswinkels gegenüber der Waagrechten. Damit erhält man:

Inhaltsverzeichnis

BeweisskizzenBearbeiten

Die Umkehrregel kann direkt gezeigt werden, indem man den Differenzenquotient

 

dahingehend umformt, dass er zu

 

wird, um anschließend mit   zu substituieren. Beim Grenzübergang für   und damit auch   (man beachte, dass differenzierbare Funktionen insbesondere stetig sind) folgt die Behauptung.

Alternativ ergibt unter Nutzung der Kettenregel die Eigenschaft

 

der Umkehrfunktion bei Differenzieren nach   auf beiden Seiten der Gleichung ebenfalls die Umkehrregel (mit  ):

 

Allerdings wird dabei die Differenzierbarkeit von   an der Stelle   schon vorausgesetzt, während sie in der ersten Beweisskizze mitbewiesen wird.

Ganz ähnlich erhält man auch einen Ausdruck für die 2. Ableitung der Umkehrfunktion  , indem man die letzte Gleichung erneut nach   differenziert unter Anwendung der Produktregel (wieder ist   bzw.  ):

 

BeispieleBearbeiten

Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion   ist der natürliche Logarithmus

 

Wegen   gilt also

 

Eine weitere wichtige Anwendung der Umkehrregel sind die Ableitungen der Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen. So gilt z. B. für die Ableitung des Arkussinus für   wegen  

 

Stellt man den trigonometrischen Pythagoras nach dem Kosinus um, erhält man

 .

Wegen   folgt daraus:

 

Analoges gilt für die Ableitungen des Arkuskosinus und des Arkustangens.

Alternative Formulierungen und VerallgemeinerungenBearbeiten

Alternative VoraussetzungenBearbeiten

Fordert man die Stetigkeit der ersten Ableitung von  , so genügt bereits die Voraussetzung  , da daraus direkt   auf einem kleinen Bereich um   und daraus wiederum die Existenz der Umkehrfunktion von   auf diesem kleinen Bereich folgt (man betrachte dazu die Monotonie von  !). Von dieser Grundidee geht man bei der mehrdimensionalen Verallgemeinerung der Umkehrregel, dem Satz von der inversen Abbildung, aus.

Abweichende Schreibweisen in der Physik und anderen NaturwissenschaftenBearbeiten

In der Physik und anderen Naturwissenschaften wird manchmal die leibnizsche Schreibweise mit Differentialen benutzt. Die Umkehrregel nimmt dann die folgende Gestalt an:

 

VerallgemeinerungenBearbeiten

Die Umkehrregel lässt sich auf die Ableitungen von Funktionen in mehreren Dimensionen verallgemeinern. Die mehrdimensionale Entsprechung der Umkehrregel ist der Satz von der Umkehrabbildung.

LiteraturBearbeiten