Hauptmenü öffnen

Ultrabornologische Räume werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich dabei um bornologische Räume mit einer gewissen zusätzlichen Vollständigkeitseigenschaft. Ihre Bedeutung erhalten diese Räume dadurch, dass sich mit ihnen Verallgemeinerungen zweier zentraler Sätze aus der Theorie der Banachräume beweisen lassen, nämlich des Satzes über die offene Abbildung und des Satzes vom abgeschlossenen Graphen.

Motivation und DefinitionBearbeiten

Ist   ein lokalkonvexer Raum und   eine beschränkte und absolutkonvexe Teilmenge, so ist   ein Vektorraum und das Minkowski-Funktional   von   macht diesen Vektorraum zu einem normierten Raum. Ist dieser normierte Raum sogar ein Banachraum, so nennt man   eine Banachkugel.

Eine Charakterisierung der bornologischen Räume lautet: Ein lokalkonvexer Raum   ist genau dann bornologisch, wenn sich die Stetigkeit einer linearen Abbildung in irgendeinen anderen lokalkonvexen Raum bereits daraus ergibt, dass das Bild jeder beschränkten Menge beschränkt ist. Daher stellt die folgende Definition eine Verschärfung dieser Eigenschaft dar:

Ein lokalkonvexer Raum   heißt ultrabornologisch, wenn jede lineare Abbildung von   in einen anderen lokalkonvexen Raum bereits dann stetig ist, wenn das Bild jeder Banachkugel beschränkt ist.

EigenschaftenBearbeiten

  • Aus der Definition ergibt sich sofort, wie oben ausgeführt, dass ultrabornologische Räume bornologisch sind.
  • Ultrabornologische Räume sind tonneliert, was für bornologische Räume im Allgemeinen falsch ist.
  • Ein ultrabornologischer Raum trägt die feinste lokalkonvexe Topologie, für die alle Einbettungen   stetig sind, wobei   alle Banachkugeln durchläuft. In diesem Sinne haben ultrabornologische Räume im Vergleich zu den bornologischen Räumen eine zusätzliche Vollständigkeitseigenschaft.
  • Induktive Limiten ultrabornologischer Räume sind wieder ultrabornologisch.

BeispieleBearbeiten

  • Die ultrabornologischen Räume reihen sich wie folgt in andere Klassen von Räumen ein, wodurch gleichzeitig viele Beispiele gegeben sind. Dabei bedeutet Folgenvollständigkeit, dass jede Cauchy-Folge konvergiert.
Banachraum   Fréchet-Raum   (LF)-Raum   folgenvollständiger bornologischer Raum   ultrabornologischer Raum
  • Sei   ein kompakter Raum und   der Vektorraum der stetigen Funktionen   mit der strikten Topologie, d. h. mit der durch die Halbnormen   gegebenen Topologie, wobei   die auf   definierten beschränkten Funktionen durchläuft. Dann ist dieser Raum ultrabornologisch.

Graphensatz und OffenheitBearbeiten

Allgemeine Versionen des Satzes über die offene Abbildung und des Satzes vom abgeschlossenen Graphen ergeben sich im Zusammenspiel mit Räumen mit Gewebe, Fréchet-Räume sind Beispiele solcher Räume.

Satz über die offene Abbildung: Sei   ein Raum mit Gewebe,   sei ultrabornologisch und   sei linear, stetig und surjektiv. Dann ist   offen.

Satz vom abgeschlossenen Graphen: Sei   ultrabornologisch,   sei ein Raum mit Gewebe,   sei ein linearer Operator mit abgeschlossenem Graphen. Dann ist   stetig.

Man beachte die wechselnden Rollen der Raumklassen in diesen beiden Sätzen, (LF)-Räume gehören beiden Klassen an.

QuellenBearbeiten

  • H. Jarchow: Locally Convex Spaces, Teubner, Stuttgart 1981 ISBN 3-519-02224-9
  • Reinhold Meise, Dietmar Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis (= Vieweg-Studium 62 Aufbaukurs Mathematik). Vieweg, Braunschweig u. a. 1992, ISBN 3-528-07262-8.