Die Zykloide von Ceva oder Trisektrix von Ceva ist eine nach Tommaso Ceva (1648–1736) benannte ebene Kurve, die zur Dreiteilung von Winkeln verwendet werden kann (daher Trisektrix). Ceva selbst bezeichnete die Kurve als cycloidum anomalarum.

Zykloide von Ceva

Geometrische Definition

Bearbeiten
 
Animation der Konstruktion der Zykloide von Ceva
 
Winkeleigenschaft der Zykloide von Ceva:
  (Basiswinkelsatz)
  (Außenwinkelsatz, Basiswinkelsatz)
  (Nebenwinkel, Winkelsumme)

Für einen Punkt   auf dem Einheitskreis konstruiert man die Verbindungsgerade   zum Ursprung  . Dann bestimmt man auf der x-Achse den von   verschiedenen Punkt  , der von   den Abstand 1 besitzt. Schließlich bestimmt man dann den von   verschiedenen Punkt   auf der Geraden  , der von   den Abstand 1 besitzt. Die Zykloide von Ceva ist nun die Ortskurve von  , die man erhält, wenn man den Punkt   und damit auch die Gerade   um den Ursprung   rotiert.

Die Ortskurve besteht aus vier am Ursprung anliegenden achsensymmetrischen Schlaufen, wobei die beiden an der x-Achse liegenden Schlaufen deutlich größer sind als die beiden an der y-Achse. Verwendet man statt der Geraden   lediglich einen Strahl  , so entfallen die beiden kleinen Schlaufen an der y-Achse.

Aufgrund der Konstruktion beträgt der Winkel zwischen der Geraden   und der x-Achse genau ein Drittel des Winkels zwischen der Strecke   und der x-Achse (siehe Zeichnung), aufgrund dieser Eigenschaft lässt sich die Kurve als Trisektrix verwenden.

Setzt man das Konstruktionsverfahren für Punkte  ,   und   für weitere Punkte   fort, so erhält man für ungerade   als Ortskurven der   die Sektrizen von Ceva.

Gleichung und Parameterform

Bearbeiten

Aus der geometrischen Definition lässt sich mit Hilfe des Kosinussatzes die folgende Gleichung in Polarkoordinaten herleiten:

 .

Als Parameterkurve   in kartesischen Koordinaten erhält man die folgende Darstellung:

 .

Zudem ergibt sich die folgende Gleichung in kartesischen Koordinaten, womit die Zykloide von Ceva eine algebraische Kurve sechsten Grades ist:

 .

Winkeldreiteilung

Bearbeiten
 
Winkeltrisektion spitzer Winkel mit der Zykloide von Ceva
 
Winkeltrisektion stumpfer Winkel mit der Zykloide von Ceva

Die oben beschriebene Winkeleigenschaft der Zykloide von Ceva liefert die folgende Konstruktion zur Dreiteilung eines Winkels. Bei einem gegebenen Winkel   verlängert man zunächst den Schenkel   und zeichnet auf der Verlängerung die Zykloide mit   als x-Achse. Dann trägt man auf dem anderen Schenkel   die Strecke   mit der Länge 1 ab und zeichnet die Parallele zu   durch den Punkt  . Diese schneidet die Zykloide in dem Punkt  . Nun verbindet man den Punkt   mit dem Mittelpunkt der Zykloide   (Ursprung des Koordinatensystems), dann bildet die Strecke   mit der Verlängerung von   einen Winkel, dessen Winkelmaß genau ein Drittel des Winkelmaßes des Ausgangswinkels   beträgt. Man beachte hierbei, dass die Parallele im Falle spitzer oder stumpfer Winkel die Zykloide immer in zwei Punkten schneidet und damit zunächst zwei Punkte zur Bestimmung von   zur Verfügung stehen. Handelt es um einen spitzen Winkel ( ), so wählt man den näher am Winkel gelegenen Schnittpunkt als  . Im Falle eine stumpfen Winkels ( ) hingegen wählt man den weiter entfernten Schnittpunkt als  .

Historisches

Bearbeiten

Tommaso Ceva (1648–1736), der Bruder von Giovanni Ceva (1647–1734), beschrieb die Kurve in seinem 1699 erschienenen Werk Opuscula mathematica und bezeichnete sie dort als cycloidum anomalarum. Die Winkeleigenschaft beziehungsweise die der Kurvenkonstruktion zugrunde liegende mathematische Idee geht auf Archimedes (287–212 v. Chr.) zurück, der sie benutzte, um eine Winkeldreiteilung mit Hilfe eines markierten Lineals durchzuführen.

Literatur

Bearbeiten
  • Gino Loria: Spezielle algebraische und transscendente Ebene Kurven: Theorie und Geschichte. Teubner, 1902, S. 324–325
  • Eugene V. Shikin: Handbook and Atlas of Curves. CRC Press, 1996, ISBN 9780849389634, S. 315
  • Robert C. Yates: The Trisection Problem. National Mathematics Magazine, Band 15, Nr. 4 (Jan., 1941), S. 191–202 (JSTOR)
  • Robert C. Yates: The Trisection Problem. Classics in Mathematics Education Series Volume 3, The National Teachers of Mathematics, Education Resources Information Center, 1971, S. 39–40 (Online-Kopie)
  • Laszlo Nemeth: Sectrix Curves on the Sphere. KOG 19, Dezember 2015, S. 42–47
  • Tommaso Ceva: Opuscula mathematica. Mailand, 1699, S. 31 (Online-Kopie)
Bearbeiten
Commons: Cycloid of Ceva – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien