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Das Teilchen im Kasten ist ein Modell in der Quantenmechanik, bei dem sich ein freies Teilchen in einem Kastenpotential befindet. Es handelt sich um einen Spezialfall des Potentialtopfes, bei dem das Potential in einem bestimmten Bereich gleich null und außerhalb davon unendlich ist. Das Modellsystem macht die Quantisierung der Energie verständlich. Als eindimensionales Modell lässt es sich vergleichsweise einfach berechnen.

Das Potential, hier mit bezeichnet, ist außerhalb des Potentialkastens unendlich groß, im Inneren gleich null.

Inhaltsverzeichnis

Aufbau und VoraussetzungenBearbeiten

Das eindimensionale Modellsystem besteht aus einem freien Teilchen, beispielsweise einem Gasmolekül, das sich in dem potentialfreien Raum zwischen zwei unendlich großen Potentialen befindet. Die als „Wände“ bezeichneten Grenzen (eine bei   und eine bei  ) sind orthogonal zur x-Achse und somit parallel zueinander. Dieses stark vereinfachende Modell eines Potentialtopfs bezeichnet man als Potentialkasten.

Innerhalb des Potentialkastens der Länge   wirken im Modell keine Kräfte auf das Teilchen (Gravitation und Elektromagnetische Felder werden nicht berücksichtigt). Da das Potential außerhalb des Kastens unendlich groß ist, kann das Teilchen den Kasten nicht verlassen. Daraus folgt, dass sich das Teilchen im Inneren des Kastens mit konstanter Geschwindigkeit   bewegt und an den Wänden ohne Energieverlust reflektiert wird. Betrachtet man   als vektorielle Größe, so gilt, dass der Betrag der Geschwindigkeit konstant bleibt.

Zustandsfunktion und AntreffwahrscheinlichkeitBearbeiten

 
Im Potentialkasten können nur Wellen existieren, für die   ein Vielfaches ihrer halben Wellenlänge   ist.

Beschreibt man das Teilchen, wie in der Quantenphysik üblich, mit Hilfe einer einfachen Wellenfunktion, ergibt sich, dass im Inneren des Potentialkastens nur solche Energie-Eigenfunktionen zulässig sind, für die   ein ganzzahliges Vielfaches ihrer halben Wellenlänge ist.

Eine weitere quantenmechanische Besonderheit in dem Modell ist die Antreffwahrscheinlichkeit, also die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen an einem bestimmten Ort anzutreffen. Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen irgendwo im Potentialkasten zu finden, beträgt  , da es den Kasten nicht verlassen kann. Überall außerhalb des Kastens beträgt die Antreffwahrscheinlichkeit dementsprechend  . Für einzelne Punkte innerhalb des Kastens ist die Antreffwahrscheinlichkeit verschieden und hängt von dem Zustand des Teilchens ab.

Eine andere Besonderheit der Quantenmechanik, der Tunneleffekt, tritt nicht bei dem hier beschriebenen Potential, sondern nur bei einem endlich hohen Potentialtopf auf.

EnergieBearbeiten

Weil für ein Teilchen innerhalb eines Potentialkastens nur bestimmte einzelne Eigenzustände   zulässig sind, können sie auch nur bestimmte diskrete, von   abhängige Energiewerte haben. Dies gilt auch bei endlich hohen „Wänden“ und hat weitreichende Auswirkungen etwa auf das Verständnis des Aufbaus von Atomen. Mit den oben gemachten Annahmen lässt sich für die Energie eines Teilchens in Abhängigkeit von   folgende Gleichung herleiten:

 

Wird ein Teilchen angeregt, also etwa einem Atom durch Bestrahlung Energie zugeführt, wechselt es ohne „fließenden“ Übergang direkt auf ein höheres Energieniveau („Quantensprung“). Wechselt ein Teilchen auf ein niedrigeres Energieniveau, so gibt es die freiwerdende Energie ab, beispielsweise in Form eines Photons.

Aus der oben angeführten Gleichung lassen sich drei einfache Schlussfolgerungen ziehen, die das Teilchen im Potentialkasten qualitativ beschreiben:

  1. Die Energie des Teilchens ist proportional dem Quadrat der Quantenzahl   ( )
  2. Je länger der Potentialkasten, desto kleiner ist die Energie des Teilchens ( )
  3. Je länger der Potentialkasten, desto geringer ist die Differenz zwischen zwei Energieniveaus   und  .

Diese Aussagen gelten sinngemäß auch für andere Potentialtöpfe.

Die Lösungen der Schrödinger-Gleichung führen zur Quantisierung der EnergieBearbeiten

Der Hamiltonoperator des eindimensionalen Problems lautet in Ortsdarstellung

 

Die Schrödingergleichung

 

geht mit dem Ansatz

 

in die zeitunabhängige (stationäre) Schrödingergleichung über.

 

Im Folgenden wird die zeitunabhängige Schrödingergleichung zu lösen sein (Eigenwertproblem des Hamiltonoperators)

Innerhalb des KastensBearbeiten

Die stationäre Schrödingergleichung entspricht innerhalb des Kastens der eines freien Teilchens (gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung)

 

Für die Wellenfunktion   innerhalb des Kastens wählt man folgenden Ansatz

 

Äquivalent wäre der Ansatz mit komplexen Exponentialfunktionen  .

Diesen Ansatz setzt man in die Schrödingergleichung ein, wobei die zweite Ableitung nach dem Ort   ist.

 

Somit erhält man die Energie   in Abhängigkeit von der Wellenzahl  :

 

Außerhalb des Kastens, StetigkeitsbedingungBearbeiten

Außerhalb des Kastens muss die Wellenfunktion aufgrund des unendlich hohen Potentials identisch null sein.

 

Da die Wellenfunktion jedoch überall stetig sein muss, werden somit Randbedingungen an die Wellenfunktion im Kasten gestellt, nämlich dass die Wellenfunktion   an den Wänden gleich 0 ist:

 .

Randbedingung 1Bearbeiten

Aus der ersten Randbedingung folgt für die Wellenfunktion innerhalb des Kastens

 .

Damit diese Gleichung erfüllt wird, muss   sein. Damit vereinfacht sich die Wellenfunktion zu

 .

Randbedingung 2Bearbeiten

Mit Hilfe der zweiten Randbedingung folgt dann für die Wellenfunktion innerhalb des Kastens

 .

Damit diese Gleichung erfüllt wird, muss   ein ganzes Vielfaches von   sein (die triviale Lösung   würde bedeuten, dass gar keine Welle existiert), also

 

Somit darf die Wellenzahl   nur diskrete Werte annehmen

 

Eigentlich folgt aus der zweiten Randbedingung nur, dass   eine ganze Zahl ist. Für   wäre allerdings die Wellenfunktion   überall null und somit die Normierungsbedingung nicht zu erfüllen, also ist   nicht erlaubt. Für negative   ist die Wellenfunktion bis auf das Vorzeichen dieselbe wie für das positive  , nämlich  . Da Wellenfunktionen, die sich um einen Faktor unterscheiden, denselben Zustand beschreiben, bringen die negativen ganzen Zahlen keine neuen Zustände hervor. Deshalb beschränkt man sich auf  .

Wie oben berechnet, hängt die Energie   von der Wellenzahl   ab, einsetzen liefert:

 

Da   nur ganzzahlige Werte annehmen darf, kann die Energie ebenfalls nur bestimmte Werte annehmen. Die Energie des Teilchens ist somit gequantelt, die Energieniveaus sind „diskret“.

NormierungBearbeiten

Die Amplitude   lässt sich noch über die Normierungsbedingung bestimmen:

 

Da   eine komplexe Zahl ist, ist nur ihr Betrag festgelegt, die Phase   ist beliebig:

 

Wellenfunktionen, die sich nur um einen konstanten Phasenfaktor unterscheiden, beschreiben denselben Zustand. Deshalb kann man   setzen und somit   reell wählen.

ZusammenfassungBearbeiten

Die Eigenwerte (= mögliche Energiewerte) und Eigenfunktionen (= Wellenfunktionen) des Hamiltonoperators für ein Teilchen im Kasten mit unendlich hohen Potentialwänden sind also:

 

GrundzustandBearbeiten

Die Grundzustandsenergie (niedrigste mögliche Energie) ist nicht null (  ist wegen der Heisenbergschen Unschärferelation nicht erlaubt), sondern

 

Dies erhält man auch aus der Betrachtung der Heisenbergschen Unschärferelation  : Das Teilchen ist auf den Raumbereich   eingeschränkt. Dann ergibt sich der minimale Impuls über  . Innerhalb des Kastens ist das Potential gleich null, somit ist die Gesamtenergie gleich der kinetischen Energie  .

 

Zeitliche Entwicklung eines Wellenpakets im KastenpotentialBearbeiten

Die zeitliche Entwicklung der Wellenfunktion ist gegeben durch

 

wobei die Koeffizienten   sich aus der Anfangsbedingung ergeben:

 

Durch eine Variablentransformation   kann das Problem so gestellt werden, dass es symmetrisch um Null herum ist. Es ist dann

 

Das führt zur Gesamtwellenfunktion

 .

Die Gesamtwellenfunktion ist zeitlich periodisch mit Periodendauer

 ,

die revival time genannt wird. Das heißt, es gilt  . Dies ist eine charakteristische Eigenschaft des Kastenpotentials, da hier alle Energieeigenwerte ganzzahlige Vielfache der Grundzustandsenergie   sind.

Auch für rationale Vielfache von   können sich interessante Strukturen herausbilden. Seien   natürliche Zahlen mit  , dann gilt

 

Für   und gerades   ergibt der Phasenfaktor den Wert  , für ungerades   den Wert  . Es ist also

 

und die Wellenfunktion wird um die Mitte des Kastens herum gespiegelt. Das heißt, ein Wellenpaket, das anfangs in der linken Kastenhälfte lokalisiert war, erscheint nach der halben Revival-Zeit auf der rechten Seite. Man nennt dies ein mirror revival. Für die Wahrscheinlichkeitsdichte gilt trivialerweise:

 

Für   und gerades   ergibt der Phasenfaktor den Wert   und für ungerades   den Wert  . Ist   reell, dann gilt:

 

In diesem Fall wird das Wellenpaket quasi in zwei Teile mit jeweils halber Wahrscheinlichkeitsdichte auf beiden Seiten aufgetrennt. Dieser Fall heißt fractional revival.

Auch für die andere Zeiten   mit (kleinen) ganzen Zahlen   und   entstehen typischerweise mehrere approximative Reproduktionen des Wellenpaketes. Trägt man nun die zeitliche Entwicklung (Ordinate) gegen die räumliche Verteilung des Wellenpakets in einen Diagramm auf, ist eine starke Strukturierung in Ort und Zeit als ausgeprägte Gräben zu erkennen, in denen die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte sehr klein ist. Die Form des Diagramms erinnert an die Form eines orientalischen Teppichs. Man spricht daher auch vom Quantenteppich.

Dreidimensionaler Fall (Quader)Bearbeiten

Im dreidimensionalen Kasten (Quader) sieht der Hamiltonoperator wie folgt aus:

 

Dabei ist das Potential

 

Den vollständigen Hamiltonoperator kann man mittels

 

als Summe dreier eindimensionaler Hamiltonoperatoren schreiben:

 

SeparationsansatzBearbeiten

Die stationäre Schrödingergleichung (dreidimensional)

 

lässt sich mit folgendem Produktansatz

 

in drei eindimensionale Probleme separieren.

Setze dazu den Produktansatz in die stationäre Schrödingergleichung ein und nutze aus, dass   nur auf   wirkt, d. h. die anderen   kann man am Hamiltonoperator vorbeiziehen.

 

Teilen durch   liefert:

 

Dabei wurden die drei Separationskonstanten  ,  ,   definiert, deren Summe die Gesamtenergie   ergibt:

 

Eindimensionale ProblemeBearbeiten

Nun muss für jede Raumrichtung separat das eindimensionale Problem, wie oben bereits geschehen, gelöst werden:

 

Deren Lösung ist:

 

Stationäre GesamtlösungBearbeiten

Die Lösung des dreidimensionalen Kastens ist für die Gesamtwellenfunktion das Produkt der eindimensionalen Wellenfunktionen

 

und für die Gesamtenergie die Summe der eindimensionalen Energieeigenwerte:

 

EntartungBearbeiten

Die Energieeigenwerte können entartet sein, d. h. unterschiedliche Wellenfunktionen besitzen dieselbe Energie. Das bedeutet für den dreidimensionalen Kasten, dass unterschiedliche Quantenzahlen   zu derselben Summe   führen.

Zum Beispiel treten für den Spezialfall des Würfels, also  , Entartungen auf. Die Energie ist gegeben durch:

 

Für Entartung müssen unterschiedliche Quantenzahlen   zu derselben Summe   führen.

Der niedrigste Energiewert ist nicht entartet (= einfach entartet)   somit   und  .

Der nächsthöhere Energiewert ist bereits dreifach entartet:   somit   und  .

Es können auch höhere Entartungen als dreifach auftreten, z. B. 4-fach   somit   und  .

Dreidimensionaler Fall (Kugel)Bearbeiten

Für den dreidimensionalen kugelförmigen Kasten mit Radius   ist es sinnvoll, den Hamiltonoperator in Kugelkoordinaten darzustellen:

 

Dabei ist das Potential

 

SeparationsansatzBearbeiten

Ebenso wie beim Wasserstoffatom kann man die Schrödinger-Gleichung in zwei unabhängige Gleichungen separieren, wobei die Wellenfunktion sich aus Produkt einer radiusabhängigen Funktion   und den Kugelflächenfunktionen   ergibt:

 

Dabei ist auch hier   die Haupt- oder Energiequantenzahl,   die Drehimpulsquantenzahl und   die magnetische Quantenzahl.

Für die radiusabhängige Funktion bleibt noch folgende radiale Schrödingergleichung (wobei V = 0 innerhalb des Kastens berücksichtigt wurde):

 

A ergibt sich durch Lösung der winkelabhängigen Schrödingergleichung zu:

 

Kugelsymmetrische LösungenBearbeiten

Zunächst sei nur der einfache Fall   betrachtet (s-artige Wellenfunktionen). Damit verschwindet der Term   aus der radialen Schrödingergleichung.

Zusätzlich sei   gesetzt. Es folgt:

 
 
 
 

Damit vereinfacht sich die radiale Schrödingergleichung zu:

 

Wie direkt ersichtlich ist, ist der Lösungsansatz für   der Gleiche wie beim Teilchen im linearen Kasten:   bzw.

 

Da das Potential im Ursprung stetig ist, darf die Wellenfunktion dort nicht singulär werden, sodass der  -Term wegfällt. Außerdem gilt die Randbedingung   wegen der Stetigkeit der Wellenfunktion. Daraus folgt für  :

 

Einsetzen von   in die radiale Schrödingergleichung liefert:

 ,

woraus sich die Energieeigenwerte   mit   bestimmen lassen.

Zusammengefasst: Für   (kugelsymmetrische Lösungen) ergeben sich die Wellenfunktionen   mit der Normierungskonstante   und den Energieeigenwerten   zu:

 
 

Nicht-kugelsymmetrische LösungBearbeiten

Für   ist die Lösung der Schrödingergleichung erheblich komplizierter. Für   ergeben sich sphärische Bessel-Funktionen  , die mit den normalen Bessel-Funktionen   folgendermaßen zusammenhängen:[1]

 

  hängt wegen der Randbedingung   quadratisch von der jeweils  -ten Nullstelle   dieser Funktionen ab:

 

wobei die   nicht analytisch zu bestimmen sind.

Modell für konjugierte SystemeBearbeiten

Das Teilchen im Kasten kann als einfaches Modell für ein konjugiertes Molekül, z. B. Hexatrien, verwendet werden, um dessen Energie abzuschätzen. Man nimmt an, dass sich die Elektronen in einem konjugierten Molekül in diesem frei bewegen können, aber es nicht verlassen können. Man addiert formal ein halbes Atom an jedem Ende des Moleküls. Die Länge dieses Teilchens entspricht dann dem Kasten, in dem sich das Elektron befindet.

BeispieleBearbeiten

Ein Beispiel aus der Kristallographie ist das Farbzentrum, bei denen ein Elektron in einer Anionen-Leerstelle eingesperrt ist und das sich in guter Näherung als ein Teilchen im Kasten beschreiben lässt. Auch die Farbigkeit von Farbstoffen mit linearen konjugierten Pi-Systemen lässt sich erfassen, indem man das Pi-System als eindimensionales Teilchen im Kastenproblem betrachtet.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • B. H. Bransden, C. J. Joachain: Quantum mechanics, 2nd. Auflage, Pearson Education, Essex 2000, ISBN 0-582-35691-1.
  • John H. Davies: The Physics of Low-Dimensional Semiconductors: An Introduction, 6th reprint. Auflage, Cambridge University Press, 2006, ISBN 0-521-48491-X.
  • David J. Griffiths: Introduction to Quantum Mechanics, 2nd. Auflage, Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7.

WeblinksBearbeiten

  Commons: 1D infinite square wells – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Abramowitz and Stegun: Page 437.