Prinzip von Inklusion und Exklusion

Technik zur Bestimmung der Mächtigkeit einer mathematischen Menge
(Weitergeleitet von Siebformel)

Das Prinzip von Inklusion und Exklusion (auch Prinzip der Einschließung und Ausschließung oder Einschluss-Ausschluss-Verfahren) ist eine zur Bestimmung der Mächtigkeit einer Menge hilfreiche Technik. Sie findet vor allem in der Kombinatorik, der Zahlentheorie und der Stochastik Anwendung.

Das Prinzip drückt dazu die Kardinalität einer Ursprungsmenge durch die Kardinalitäten ihrer Teilmengen aus. Diese sind in aller Regel einfacher zu bestimmen. Namensgebend ist dabei das Vorgehen, bei dem zunächst durch die Summe der Größen nicht notwendigerweise disjunkter Teilmengen die Größe von von oben abgeschätzt wird (Inklusion), anschließend jedoch durch die Subtraktion der Größe des gemeinsamen Schnittes der Teilmengen dies wieder zu korrigieren versucht wird (Exklusion).

Das PrinzipBearbeiten

 
Prinzip von Inklusion und Exklusion am Beispiel von drei Mengen

Es ist ein bekanntes Ergebnis, dass für je zwei endliche Mengen   und  

 

gilt. Hierbei kann man bereits das Prinzip von Inklusion und Exklusion erkennen. Durch   wird zunächst die Kardinalität von   von oben abgeschätzt. Diese zu hohe Zahl wird anschließend durch die Subtraktion von   korrigiert. Zweck dieser Korrektur ist es, diejenigen Elemente einmal wieder abzuziehen, die sowohl in   als auch in   enthalten sind und somit zunächst doppelt gezählt wurden.

Anhand der nebenstehenden Abbildung lässt sich erkennen, dass eine Verallgemeinerung auf drei endliche Mengen

 

ergibt.

Im Allgemeinen wollen wir die Kardinalität der Vereinigung von   endlichen Mengen

 

bestimmen. Als erste Näherung erhalten wir durch Inklusion die Summe der Kardinalitäten der  . Diese Summe kann jedoch zu groß sein, da wir Elemente aus dem Schnitt zweier Mengen   mehrfach zählen würden:

 

Um dies zu korrigieren, können wir nun durch Exklusion die Summe der Kardinalitäten der Schnittmengen aller Mengenpaare wieder abziehen. Dann gilt:

 

Denn Elemente des Schnittes dreier Mengen   würden – obwohl nur zweimal zu häufig bei der Inklusion mitgezählt – durch  , durch   und durch   dreimal wieder abgezogen. Dies nun durch Inklusion, also durch Addition der Summe der Größe aller Schnitte aus drei Mengen, zu korrigieren, ergibt:

 

Darauf folgt durch Exklusion

 

und so weiter, wobei beispielsweise   bedeutet, dass über alle geordneten Tripel   summiert wird, die den Ungleichungen   gehorchen.

SatzBearbeiten

Es lässt sich folgende allgemeine Aussage beweisen.

Gegeben sei eine endliche Menge  , die sich als Vereinigung von   Teilmengen   schreiben lässt, d. h.  . Es bezeichne im Folgenden zu einer Indexmenge   die Menge   den Schnitt über alle durch die Elemente der Indexmenge bezeichneten Teilmengen, also:

  mit dem Spezialfall  

Dann gilt:

 

Mit anderen Worten: Betrachtet man alle möglichen Schnitte   (außer dem leeren Schnitt  ), so ist die Kardinalität von   gleich der Summe der Kardinalität aller Schnitte einer ungeraden Anzahl an Teilmengen (Inklusion) minus der Summe der Kardinalität aller Schnitte einer geraden Anzahl an Teilmengen (Exklusion), formal:

 

AnwendungBearbeiten

Eine Anwendung des Prinzips liefert die Siebformel von Poincaré und Sylvester, auch Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten genannt:

Für die Wahrscheinlichkeit von beliebigen Ereignissen   aus einem Wahrscheinlichkeitsraum   gilt:

 

Wegen der Additivität von Maßen lässt sich der oben angegebene heuristische Beweis für das Prinzip von Inklusion und Exklusion, der mit Mitteln der elementaren Mengentheorie geführt wurde, direkt auf Wahrscheinlichkeiten übertragen.

Beispielsweise gilt für drei Ereignisse  ,   und   stets

 .

Allgemein gilt diese Aussage auch schon für endliche Inhalte auf Ringen.

BeispielBearbeiten

Beim vorweihnachtlichen Brauch des Wichtelns beschenkt sich eine Gruppe gegenseitig. Jeder beschenkt genau eine Person und wird wiederum von genau einer Person beschenkt. Dabei wird per Los zufällig festgelegt, wer welches Geschenk erhält. Idealerweise sollte jeder das Geschenk eines anderen erhalten. Es kann jedoch passieren, dass jemand zufällig sein eigenes Geschenk bekommt. Für die betreffende Person wäre es mit der Überraschung vorbei. Doch wie wahrscheinlich ist dieser Fall bei einer Gruppe von   Personen?

Mathematisch ausgedrückt möchte man die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A := „Mindestens eine Person erhält ihr eigenes Geschenk“ ermitteln. Dies ist äquivalent dazu, dass mindestens eines der Ereignisse Ai := „Person i erhält ihr eigenes Geschenk“ für   zutrifft, wobei   die Anzahl Personen ist, die am Wichteln teilnimmt. Der rechte Term der Siebformel

 

kann vereinfacht werden zu

 
 ,

da in diesem Beispiel die Wahrscheinlichkeiten aller Schnittmengen mit derselben Anzahl an Teilmengen gleich sind. Die Wahrscheinlichkeit, dass   bestimmte Personen jeweils ihre eigenen Geschenke ziehen, beträgt

 .

Mit Hilfe der Definition des Binomialkoeffizienten erhält man somit

 
 
 .

Nach dem Kürzen der Brüche ergibt sich

 .

Mit der Summenschreibweise lässt sich das verkürzt als   ausdrücken.

Bei großen Gruppen müssen ziemlich viele Summanden addiert werden und die Fakultät   wird schnell extrem groß. In diesem Fall ist es zweckmäßig, den Grenzwert dieser Summe für   zu bilden:

 

Bei der Reihe handelt es sich um die Auswertung der Taylorreihe mit Entwicklungsstelle   der natürlichen Exponentialfunktion an der Stelle  , weshalb sich die Lösung auf insgesamt   vereinfacht. Dieser Wert kann als Näherung für großes   betrachtet werden. In großen Gruppen beträgt die Wahrscheinlichkeit demnach in etwa   dafür, dass mindestens eine Person ihr eigenes Geschenk erhält.[1][2]

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger. Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. Springer Spektrum, 10. Auflage, Wiesbaden 2016, S. 70–76.
  • Klaus Dohmen: Improved Bonferroni Inequalities via Abstract Tubes – Inequalities and Identities of Inclusion-Exclusion Type. Springer-Verlag, 2003, ISBN 3-540-20025-8.
  • Stasys Jukna: Extremal Combinatorics. Springer, Mai 2001, ISBN 3-540-66313-4.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Sinngemäß in leicht anderer Einkleidung in: Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger. Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. Springer Spektrum, 1. Auflage, Wiesbaden 1997, S. 74–77.
  2. Stefan Bartz: Selbst-Bewichtelungen in 2 von 3 Spielen. In: Stochastik in der Schule. Nr. 33, 2013 (stefanbartz.de [PDF; 684 kB]).