Schwach unbedingte Cauchy-Reihen, auch schwach unbedingt konvergente Reihen oder kürzer WUC-Reihen genannt, werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich um nicht notwendigerweise konvergente Reihen in Banachräumen mit einer gewissen Zusatzeigenschaft.

Definition

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Es seien   ein Banachraum,   sein Dualraum und   eine Reihe in  , womit wie immer die Folge der Partialsummen gemeint ist. Die Reihe heißt schwach unbedingt Cauchy oder schwach unbedingt konvergent, falls   für jedes stetige, lineare Funktional aus   gilt.[1]

Diese Eigenschaft wird nach der englischen Bezeichnung weakly unconditionally Cauchy bzw. weakly unconditionally convergent auch mit WUC abgekürzt.

Bemerkungen

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Die Bezeichnung schwach in obiger Definition meint, dass es sich um eine Eigenschaft handelt, die bezüglich jedem   gelten muss.

Der Namensbestandteil unbedingt rührt daher, dass man die Bedingung   auch durch die unbedingte Konvergenz der Reihe   ersetzen kann, denn im Grundkörper stimmen unbedingte Konvergenz und absolute Konvergenz überein. Eine unmittelbare Konsequenz aus dieser Beobachtung ist, dass jede Umordnung einer WUC-Reihe wieder WUC ist.

Da die Folge der Partialsummen einer WUC-Reihe offenbar eine schwache Cauchy-Folge ist, erklärt sich auch der Namensbestandteil Cauchy. Die Verwendung von konvergent kann irreführend sein, denn es liegt im Allgemeinen keine schwache Konvergenz der Reihe vor.[2]

Charakterisierung

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Für eine Reihe   in einem Banachraum   sind folgende Aussagen äquivalent:[3][4]

  •   ist WUC
  • Es gibt eine Konstante  , so dass
 
für alle Folgen   aus dem Folgenraum   gilt.
  • Es gibt eine Konstante  , so dass
 
für jede endliche Teilmenge   und jede Wahl von Vorzeichen   gilt.
  • Für jede Nullfolge   konvergiert   in  
  • Es gibt einen stetigen, linearen Operator   mit   für alle  , wobei   die n-te Einheitsfolge in   sei, das heißt   ist die Folge, die an n-ter Stelle eine 1 und an allen anderen Stellen eine 0 hat.

Vergleich mit unbedingter Konvergenz

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Es ist klar, dass unbedingt konvergente Reihen WUC sind. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. Betrachte dazu die Reihe   der Einheitsfolgen in  . Jedes   wird bekanntlich durch eine absolutkonvergente Reihe   gegeben. Daher ist

 ,

das heißt,   ist WUC. Aber diese Reihe konvergiert nicht in  , ist also insbesondere nicht unbedingt konvergent. Der folgende Satz gibt Bedingungen an, unter denen eine WUC-Reihe unbedingt konvergiert.[5]

  • Es sei   eine WUC-Reihe in einem Banachraum   und   sei der nach obiger Charakterisierung existierende Operator   mit  . Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

Nach dem folgenden auf Czesław Bessaga und Aleksander Pełczyński zurückgehen Satz kann man die Räume, in denen jede WUC-Reihe unbedingt konvergiert, charakterisieren. Dieser Satz zeigt gleichzeitig, dass das oben angegebene Gegenbeispiel im Wesentlichen das einzige ist.

  • Ein Banachraum hat genau dann die Eigenschaft, dass jede WUC-Reihe unbedingt konvergiert, wenn er keinen zu   isomorphen Unterbanachraum enthält.[6]

Einzelnachweise

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  1. F. Albiac, N. J. Kalton: Topics in Banach Space Theory: Springer-Verlag (2006), ISBN 978-0-387-28142-1, Definition 2.4.3
  2. F. Albiac, N. J. Kalton: Topics in Banach Space Theory: Springer-Verlag (2006), ISBN 978-0-387-28142-1, Seite 39 unten
  3. J. Diestel: Sequences and series in Banach spaces, Springer-Verlag (1984), ISBN 0-387-90859-5, Kapitel V, Theorem 6
  4. F. Albiac, N. J. Kalton: Topics in Banach Space Theory: Springer-Verlag (2006), ISBN 978-0-387-28142-1, Lemma 2.4.6 und Satz 2.4.7
  5. F. Albiac, N. J. Kalton: Topics in Banach Space Theory: Springer-Verlag (2006), ISBN 978-0-387-28142-1, Satz 2.4.8 und Theorem 2.4.10
  6. F. Albiac, N. J. Kalton: Topics in Banach Space Theory: Springer-Verlag (2006), ISBN 978-0-387-28142-1, Theorem 2.4.11