Schlichtes Gebiet

Begriff aus der Analysis

Ein schlichtes Gebiet, Normalbereich oder Normalgebiet ist ein mathematisches Objekt aus der Analysis. Es handelt sich um ein für die Integralrechnung einfach zu handhabendes Gebiet.

Veranschaulichung eines Normalgebiets bzgl. x

Definition

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Seien   stetige Funktionen mit  . Dann heißt

 

(mit reellen Zahlen  ) ein Normalbereich bezüglich der  -Achse. Analog gilt das im  , indem jeweils jede Koordinate einmal in festen Grenzen betrachtet wird und alle anderen Koordinatengrenzen als Graph stetiger Funktionen.

Motivation

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Das Integrieren einer stetigen Funktion   über einem Normalgebiet   lässt sich mit dem Satz von Fubini auf die Berechnung eindimensionaler Integrale zurückführen:

 

Für gewöhnlich ist eine der ersten Anwendungen der Integralrechnung in der Schule die Berechnung der Fläche eines schlichten Gebietes. Die Fläche des Gebietes   errechnet sich durch folgendes Integral:

 .

Kompliziertere Gebiete setzt man anschließend oft aus schlichten Gebieten zusammen.

Literatur

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