Satz von Reuschle

mathematischer Satz

Der Satz von Reuschle, gefunden und im Jahre 1853 veröffentlicht von dem deutschen Gelehrten Karl Gustav Reuschle, ist ein Lehrsatz der elementaren euklidischen Geometrie und als solcher angesiedelt zwischen Dreiecks- und Kreisgeometrie. Er wird gelegentlich auch als Satz von Terquem bezeichnet, nach dem französischen Mathematiker Olry Terquem, der den Satz bereits 1842 publizierte. Der Satz behandelt eine Fragestellung über Schnittpunkteigenschaften gewisser Ecktransversalen, die man in ähnlicher Form etwa im Zusammenhang mit der Euler-Geraden und dem feuerbachschen Neun-Punkte-Kreis antrifft. Der Beweis von Reuschles Lehrsatz beruht auf dem Sekantensatz sowie dem Satz von Ceva und dessen Kehrsatz.

Satz von Reuschle

Formulierung des Satzes

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Der Satz lässt sich in moderner Formulierung angeben wie folgt:[1]

Es seien in der euklidischen Ebene ein Dreieck   gegeben sowie ein Kreis   , welcher aus jeder Dreiecksseite eine Kreissehne ausschneiden möge.
Dabei sei für den Eckpunkt   die in der gegenüberliegenden Dreiecksseite enthaltene Kreissehne die Strecke  , also   .
Jeder Eckpunkt   werde mit den beiden gegenüberliegenden Sehnenendpunkten   durch die zugehörigen Ecktransversalen   verbunden.
Dann gilt:
Treffen sich die ersten drei Ecktransversalen   in einem gemeinsamen Schnittpunkt  , so treffen sich die anderen drei Ecktransversalen   ebenfalls in einem gemeinsamen Schnittpunkt  .


Mit anderen Worten:
Legt man in einem Dreieck   der euklidischen Ebene durch einen gegebenen inneren Punkt   die drei zugehörigen Ecktransversalen mit den Fußpunkten   und schneidet der Umkreis des Fußpunktdreiecks   aus den Dreiecksseiten drei Kreissehnen   aus, so haben die so gegebenen Ecktransversalen   ebenfalls einen gemeinsamen Schnittpunkt   .

Literatur

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Commons: Satz von Reuschle – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

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  1. Friedrich Joseph Pythagoras Riecke (Hrsg.): Mathematische Unterhaltungen. Erstes Heft. 1973, S. 125