Der Sekantensatz besagt: Schneiden sich zwei Sekanten außerhalb des Kreises in einem Punkt , so ist das Produkt der Abschnittslängen vom Sekantenschnittpunkt bis zu den beiden Schnittpunkten von Kreis und Sekante auf beiden Sekanten gleich groß. Kürzer: Das Produkt der Sekantenabschnitte ist konstant.

Sekantensatz

Formulierung des Satzes

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Gegeben sei ein Kreis mit zwei Sekanten, die sich in einem Punkt   außerhalb des Kreises schneiden. Bezeichnet man die Schnittpunkte des Kreises mit der einen Sekante als   und   und die Schnittpunkte mit der anderen Sekante als   und  , so gilt:

 

Diese Aussage kann man auch als Verhältnisgleichung formulieren:

 

Der Sekantensatz lässt sich – ähnlich wie der Sehnensatz und der Sekanten-Tangenten-Satz – mit Hilfe ähnlicher Dreiecke beweisen.

Die Dreiecke   und   sind ähnliche Dreiecke, denn:

  1. Der Winkel   in Punkt   ist beiden Dreiecken gemeinsam.
  2. Umfangswinkel über einer Sehne sind gleich groß. Anwendung dieses Satzes auf die Sehne   ergibt   oder  .
  (Ähnlichkeitssatz WW)

Daraus ergibt sich die Verhältnisgleichung

 .

Durch Multiplikation mit   erhält man:

 

Ein rechnerischer Nachweis mit Hilfe des Satzes von Vieta ist in dem Artikel Potenz (Geometrie) enthalten.

Siehe auch

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Literatur

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  • Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 2. Auflage. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 2000, ISBN 3-540-67643-0, S. 148
  • H. Schupp: Elementargeometrie, UTB Schöningh (1977), ISBN 3-506-99189-2, S. 150
  • Schülerduden – Mathematik I. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 8. Auflage, Mannheim 2008, ISBN 978-3-411-04208-1, S. 415–417
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Wikibooks: Beweis des Sekantensatzes – Lern- und Lehrmaterialien