Satz von Poincaré-Hopf

mathematischer Satz

Der Satz von Poincaré–Hopf ist ein wichtiger mathematischer Satz der Differentialtopologie. Er ist auch als Poincaré-Hopf-Indexformel, Poincaré-Hopf-Indextheorem oder Hopf-Indextheorem bekannt. Der Satz ist nach Henri Poincaré und Heinz Hopf benannt. Für zwei Dimensionen wurde die Aussage von Poincaré bewiesen und später von Hopf für höhere Dimensionen verallgemeinert. Oft wird der Spezialfall des Satzes vom Igel als Illustration der Aussage benutzt.

Index eines Vektorfeldes

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Sei   ein Vektorfeld und   eine isolierte Nullstelle, das heißt, es gibt einen abgeschlossenen Ball   um   mit  . Der Index des Vektorfeldes am Punkt   ist der Abbildungsgrad der Abbildung

 

und wird mit   notiert. Diese Definition lässt sich wie folgt auf Mannigfaltigkeiten verallgemeinern. Ist   eine  -dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und   ein Vektorfeld, so wähle eine Karte   um  , so dass   gilt. Dann lässt sich obige Definition des Indexes auf das im   liegende Kartengebiet übertragen, und das erweist sich als unabhängig von der Wahl der Karte.

Satz von Poincaré

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Der Vollständigkeit halber wird zuerst die von Henri Poincaré im Jahr 1881 gefundene Aussage dargestellt. Sei   eine kompakte Fläche mit induzierter Metrik. Außerdem sei   ein glattes Vektorfeld mit einer endlichen Anzahl an isolierten singulären Punkten  . Dann gilt

 

Dabei bezeichnet   die Euler-Charakteristik von  . Das heißt also: Die Euler-Charakteristik von   ist gleich der Summe über die Indices aller isolierten singulären Punkte von  .

Satz von Poincaré-Hopf

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Der Satz von Poincaré-Hopf wurde 1926 von Hopf als Verallgemeinerung des Satzes von Poincaré bewiesen. Sei   eine kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit und sei   ein Vektorfeld auf  , das nur endlich viele, isolierte Nullstellen   besitzt. Dann gilt

 

Hat   einen Rand, so muss   auf dem Rand in Richtung der äußeren Normalen zeigen.

Siehe auch

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Literatur

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