Satz von Moivre-Laplace

mathematischer Satz

Der Satz von Moivre-Laplace, auch Satz von de Moivre-Laplace oder zentraler Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace genannt,[1] ist ein Satz aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Nach diesem Satz konvergiert die Binomialverteilung für und Wahrscheinlichkeiten gegen die Normalverteilung. Bei großem Stichprobenumfang kann daher die Normalverteilung als Näherung der Binomialverteilung verwendet werden, was insbesondere bei der Normal-Approximation und bei Hypothesentests Anwendung findet. Für kann diese Approximation durch das Galtonbrett experimentell veranschaulicht werden.

Mit wachsender Zahl von Punkten nähert sich die diskrete Binomialverteilung der kontinuierlichen Normalverteilung an.

Beim Satz von Moivre-Laplace handelt es sich aus historischer Sicht um den ersten zentralen Grenzwertsatz. Im Jahre 1730 zeigte Abraham de Moivre die Aussage für und im Jahre 1812 wurde von Pierre-Simon Laplace der allgemeine Fall gezeigt.[2]

AussageBearbeiten

Sei   eine Folge unabhängiger bernoulli-verteilter Zufallsvariablen mit den Parametern   und  . Dann ist die Summe   binomialverteilt mit Parametern  ,   und es gilt:

(1)  

(2)   für alle   mit  .

Der Satz von Moivre-Laplace besagt, dass die Verteilung der Zufallsvariablen   für   schwach gegen die Normalverteilung   mit der Varianz   konvergiert.

AnwendungenBearbeiten

Der Satz von Moivre-Laplace ist die theoretische Grundlage der Normal-Approximation, einer Methode, mit der die Binomialverteilung angenähert werden kann.

Dabei formuliert man die obige Aussage durch eine Substitution um und erhält mit der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung  

 

für alle  .

Damit kann der Wert der binomialverteilten Zufallsvariable   über die Werte der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung angenähert werden. Diese entnimmt man üblicherweise der Tabelle der Standardnormalverteilung.

Der Satz von Moivre-Laplace liefert ausreichend gute Näherungen, wenn   und   die folgende Bedingung erfüllen:[3]

 

Bei der Normal-Approximation wird zur Verringerung des Näherungsfehlers noch zusätzlich eine sogenannte Stetigkeitskorrektur eingeführt, die aus dem Einführen von Korrekturtermen   besteht und den Übergang von einer diskreten zu einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung kompensieren soll.

BeispielBearbeiten

 
Plot der Dichte der Normalverteilung mit μ = 12 und σ = 3 und der Binomialverteilung mit n = 48 und p = 1/4

Zur Veranschaulichung der Bedeutung der Fehlerkorrektur werden nachfolgende Rechnungen durchgeführt.

Gegeben sei eine Binomialverteilung mit   und  , damit gilt folglich  . Wir vergleichen mit einer Normalverteilung mit Mittelwert   und einer Varianz  .

Nun suchen wir die Antwort auf die Frage „Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Werte kleiner oder gleich   sind“. Die Berechnungen bzw. Abschätzungen ergeben folgende Resultate:

  • Binomialverteilung
 
Der Näherungswert wurde durch Ablesen aus dem nebenstehenden Plot entnommen.
  • Normalverteilung mit Stetigkeitskorrektur
 
Bei dieser Rechnung ist zu beachten, dass aus Gründen der Symmetrie   gilt und   für   ist.
  • Normalverteilung ohne Stetigkeitskorrektur
 

Insgesamt kann aus den Werten der „Berechnungen“ erschlossen werden, dass mit Hilfe der Stetigkeitskorrektur ein bessere Übereinstimmung mit dem Wert der Binomialverteilung erzielt wird.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger. Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. 10. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-03076-6, S. 223, doi:10.1007/978-3-658-03077-3.
  2. A.V. Prokhorov: Laplace theorem. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).
  3. Michael Sachs: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Ingenieurstudenten an Fachhochschulen. Fachbuchverlag Leipzig, München 2003, ISBN 3-446-22202-2, S. 129–130