Satz von Moivre-Laplace

mathematischer Satz

Der Satz von Moivre-Laplace, auch Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace[1] oder zentraler Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace[2] genannt, ist ein Satz aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Nach diesem Satz konvergiert die Binomialverteilung für und Wahrscheinlichkeiten gegen die Normalverteilung. Bei großem Stichprobenumfang kann daher die Normalverteilung als Näherung der Binomialverteilung verwendet werden, was insbesondere bei der Normal-Approximation und bei Hypothesentests Anwendung findet. Für kann diese Approximation durch ein Galtonbrett experimentell veranschaulicht werden.

Mit wachsender Zahl von Punkten nähert sich die diskrete Binomialverteilung der stetigen Normalverteilung an.

Beim Satz von de Moivre-Laplace handelt es sich aus historischer Sicht um den ersten zentralen Grenzwertsatz. Im Jahre 1730 zeigte Abraham de Moivre die Aussage für und im Jahre 1812 wurde von Pierre-Simon Laplace der allgemeine Fall gezeigt.[3]

Sei   eine Folge stochastisch unabhängiger und identisch bernoulli-verteilter Zufallsvariablen mit dem Parameter  . Dann ist die Summe   binomialverteilt mit den Parametern   und  . Die Zufallsvariable   hat den Erwartungswert   und die positive Standardabweichung  .   bezeichne die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung und   bezeichne die Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen mit dem Erwartungswert   und der Varianz  .

Dann gelten der lokale Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace

 

und der globale Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace

 

Interpretation und Anwendung

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Der lokale Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace besagt, dass die Wahrscheinlichkeiten einer binomialverteilten Zufallsvariablen für   gegen die Werte der Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen mit demselben Erwartungswert und derselben Varianz konvergieren. Er dient zur Rechtfertigung der Approximation

 

wobei auf der rechten Seite des Approximationszeichens die Dichtefunktion einer Zufallsvariablen mit der Normalverteilung   an der Stelle   steht.

Der globale Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace ist ein spezieller zentraler Grenzwertsatz, der besagt, dass die standardisierten Zufallsvariablen   für   in Verteilung gegen die Standardnormalverteilung konvergieren. Er wird auch in der Form

 

angegeben, die die theoretische Grundlage der Normal-Approximation ist.

Dies ist eine Methode, mit der Wahrscheinlichkeitsaussagen für eine Binomialverteilung durch Wahrscheinlichkeitsaussagen für eine Normalverteilung mit demselben Erwartungswert und derselben Varianz approximiert werden können. Ausgehend von der Approximation   kann die Verteilungsfunktion der binomialverteilten Zufallsvariable   mit Hilfe der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung angenähert werden, in dem man die Approximation

 

verwendet. Bei der Normal-Approximation wird zur Verringerung des Näherungsfehlers noch zusätzlich eine sogenannte Stetigkeitskorrektur eingeführt, die den Fehler kompensieren soll, der durch den Übergang von einer diskreten zu einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung verursacht wird.

Literatur

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  • Hans Fischer: A History of the Central Limit Theorem – From Classical to Modern Probability Theorem (= Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences). Springer, New York / Dordrecht / Heidelberg / London 2011, ISBN 978-0-387-87857-7.
  • Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger. Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. 13., überarbeitete und aktualisierte Auflage. Springer Spektrum, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63839-2, S. 226–232, doi:10.1007/978-3-662-63840-8.
  • Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 7. Auflage. Vieweg-Verlag, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-67259-5, doi:10.1007/978-3-322-93581-6, S. 80–83.
  • P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, Zentraler Grenzwertsatz (central limit theorem), S. 507–509.
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Einzelnachweise

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  1. P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, Zentraler Grenzwertsatz (central limit theorem), S. 508.
  2. Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger. Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. 13., überarbeitete und aktualisierte Auflage. Springer Spektrum, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63839-2, S. 226, doi:10.1007/978-3-662-63840-8.
  3. A.V. Prokhorov: Laplace theorem. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).