Als Mumford-Vermutung oder Satz von Madsen und Weiss wird in der Mathematik ein Lehrsatz über die Kohomologie der Abbildungsklassengruppe oder des Modulraums Riemannscher Flächen bezeichnet.

Der Beweis stammt von Ib Madsen und Michael Weiss.

Sei   die kompakte, orientierbare Fläche vom Geschlecht   mit   Randkomponenten, und sei   ihre Abbildungsklassengruppen, deren Repräsentanten also per Definition alle Randkomponenten festlassen.

Für   ist

 

dadurch definiert, dass die Repräsentanten durch die Identitätsabbildung auf dem zusätzlichen Henkel fortgesetzt werden.

Der Stabilitätssatz von Harer besagt, dass   einen Isomorphismus in Gruppenkohomologie in Graden   induziert und dass in diesem Bereich die Kohomologiegruppen unabhängig von   sind, man sich also auf   beschränken kann.

Man kann also die stabile Kohomologie der Abbildungsklassengruppe definieren als   für hinreichend große  . Die stabile Kohomologie wird notiert als  .

Die Mumford-Vermutung besagte, dass

 

mit den Morita-Miller-Mumford-Klassen   ist. (Mumford formulierte diese Vermutung für die Kohomologie des Modulraums Riemannscher Flächen, was für rationale Koeffizienten aber mit der Kohomologie der Abbildungsklassengruppe übereinstimmt.)

Madsen-Weiss bewiesen, dass man eine Homotopieäquivalenz

 

hat. Daraus folgt insbesondere die Mumford-Vermutung.

Verallgemeinerung in höherer Dimension

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Für   ist   die von den verallgemeinerten Morita-Miller-Mumford-Klassen   erzeugte Algebra, wobei   alle Monome vom Grad größer als   durchläuft, in denen   für   nicht vorkommt.[1]

Literatur

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  • G. Powell: The Mumford conjecture (after Madsen and Weiss). Séminaire Bourbaki. Vol. 2004/2005. Astérisque 307 (2006), Exp. No. 944, 247–282
  • I. Madsen, M. Weiss: The stable moduli space of Riemann surfaces: Mumford's conjecture. Ann. of Math. (2) 165 (2007), no. 3, 843–941.
  • S. Galatius, I. Madsen, U. Tillmann, M. Weiss: The homotopy type of the cobordism category. Acta Math. 202 (2009), no. 2, 195–239.
  • Y. Eliashberg, S. Galatius, N. Mishachev: Madsen-Weiss for geometrically minded topologists. Geom. Topol. 15 (2011), no. 1, 411–472.
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Einzelnachweise

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  1. S. Galatius, O. Randal-Williams: Stable moduli spaces of high-dimensional manifolds. Acta Math. 212 (2014), no. 2, 257–377.