Modulraum

Raum in der Mathematik

In der Mathematik bezeichnet man einen geometrischen Raum, dessen Punkte den verschiedenen mathematischen Objekten eines bestimmten Typs entsprechen, als Modulraum dieser Objekte.

Beispielsweise ist die projektive Ebene der Modulraum aller Geraden durch den Nullpunkt im . Der Modulraum der elliptischen Kurven über ist die Modulkurve

In der algebraischen Geometrie hat man für die Klassifikation algebraisch-geometrischer Objekte die Definitionen eines feinen Modulraums und eines groben Modulraums. Der feine Modulraum hat bessere Eigenschaften, existiert aber nicht immer.

Daneben spricht man auch in anderen Gebieten der Mathematik von Modulräumen mathematischer Objekte, ohne dass es für diesen Begriff eine einheitliche Definition gäbe. Beispielsweise ist in der symplektischen Geometrie der Modulraum der pseudoholomorphen Kurven von großer Bedeutung oder in der Teichmüller-Theorie der Modulraum hyperbolischer Metriken.

BeispielBearbeiten

Die projektive Ebene   ist per Definition die Menge der 1-dimensionalen Unterräume des Vektorraums  . Sie lässt sich mit einem differenzierbaren Atlas versehen, so dass durch eine differenzierbare Mannigfaltigkeit   parametrisierte Familien 1-dimensionaler Unterräume des   gerade den differenzierbaren Abbildungen   entsprechen, die Punkten   jeweils die dem Parameter   entsprechende Gerade in  , also einen Punkt   zuordnen.

Ähnlich lassen sich projektive Räume als Modulräume 1-dimensionaler Unterräume eines   und allgemeiner Graßmann-Mannigfaltigkeiten als Modulräume k-dimensionaler Unterräume eines   interpretieren.

Modulräume in der algebraischen Geometrie: DefinitionenBearbeiten

Feiner ModulraumBearbeiten

Sei   ein Funktor von der Kategorie der Schemata in die Kategorie der Mengen, der jedem Schema   die Menge der Familien gewisser geometrischer Objekte mit Basis   zuordnet. Dann ist   der feine Modulraum für den Funktor  , wenn es einen Isomorphismus

 

gibt.

Die universelle Familie ist die Familie über  , die der Identitätsabbildung   entspricht.

Grober ModulraumBearbeiten

Sei   ein Funktor von der Kategorie der Schemata in die Kategorie der Mengen, der jedem Schema   die Menge der Familien gewisser geometrischer Objekte mit Basis   zuordnet. Dann ist   ein grober Modulraum für den Funktor  , wenn es eine natürliche Transformation

 

gibt, die universell bzgl. aller natürlichen Transformationen ist.

Zu einem groben Modulraum gibt es im Allgemeinen keine universelle Familie.

BeispieleBearbeiten

 
Möbiusband als 1-dimensionales Vektorbündel über dem Kreis
  • Der feine Modulraum der Äquivalenzklassen endlicher Mengen modulo Bijektion ist die Menge der natürlichen Zahlen  .
  • Der feine Modulraum 1-dimensionaler Unterräume des   ist die projektive Ebene.
  • Es gibt bis auf Isomorphismus nur einen 1-dimensionalen Vektorraum und tatsächlich ist der Punkt ein grober Modulraum 1-dimensionaler Vektorräume. Er ist aber kein feiner Modulraum, denn das Möbiusband als 1-dimensionales Vektorbündel über dem Kreis entspricht keiner Abbildung  . Der Punkt ist aber ein feiner Modulraum für die Äquivalenzklassen   aus einem 1-dimensionalen Vektorraum   und einem von   verschiedenen Element  , denn das Möbiusband als 1-dimensionales Vektorbündel hat keinen Schnitt ohne Nullstellen.

4-Tupel von Punkten auf der projektiven GeradenBearbeiten

 
Das Doppelverhältnis bleibt unter projektiven Automorphismen erhalten.

Der feine Modulraum für die Quadrupel paarweise verschiedener Punkte auf der projektiven Geraden   ist offensichtlich  .

Die universelle Familie ist eine Teilmenge von  , nämlich die Vereinigung der Bilder der durch   für   gegebenen Schnitte  .

Zwei Quadrupel heißen projektiv äquivalent, wenn es einen projektiven Automorphismus   gibt, der das eine Quadrupel auf das andere abbildet. Bekanntlich ist das Doppelverhältnis eines Quadrupels paarweise verschiedener Punkte ein Element aus   und zwei solche Quadrupel sind genau dann projektiv äquivalent, wenn sie dasselbe Doppelverhältnis haben. Daraus kann man leicht herleiten, dass   der feine Modulraum für Quadrupel modulo projektiver Äquivalenz und   die universelle Familie ist.

Modulräume in anderen Gebieten der MathematikBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • David Mumford, John Fogarty, Frances Kirwan: Geometric invariant theory (= Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 34). 3. Auflage. Springer, Berlin 1994, ISBN 3-540-56963-4 (englisch).
  • Alexander Grothendieck: Techniques de construction en géométrie analytique. I. Description axiomatique de l'espace de Teichmüller et de ses variantes. In: Séminaire Henri Cartan. Band 13, Nr. 1 (1960–1961). Secrétariat Mathématique, Paris, Exposés No. 7 und 8 (französisch).
  • Carlos T. Simpson: Moduli of representations of the fundamental group of a smooth projective variety I. In: Publications Mathématiques de l'IHÉS. Band 79, 1994, S. 47–129 (englisch, numdam.org).
  • Carlos T. Simpson: Moduli of representations of the fundamental group of a smooth projective variety II. In: Publications Mathématiques de l'IHÉS. Band 80, 1994, S. 5–79 (englisch, numdam.org).

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Wilderich Tuschmann, David J. Wraith: Moduli spaces of Riemannian metrics (= Oberwolfach Seminars. Band 46). 2. korrigierte Auflage. Birkhäuser, Basel 2015, ISBN 978-3-0348-0947-4 (englisch).
  2. Dusa McDuff, Dietmar Salamon: J-holomorphic curves and symplectic topology (= American Mathematical Society [Hrsg.]: Colloquium Publications. Band 52). 2. Auflage. American Mathematical Society, Providence (RI) 2012, ISBN 978-0-8218-8746-2 (englisch).
  3. Michael Francis Atiyah, Raoul Bott: The Yang-Mills equations over Riemann surfaces. In: Philosophical Transactions of the Royal Society A. Band 308, Nr. 1505. London 1983, S. 523–615, doi:10.1098/rsta.1983.0017 (englisch).