Satz von Hurwitz über Automorphismengruppen

mathematischer Satz

Der Satz von Hurwitz über Automorphismengruppen (nach Adolf Hurwitz, 1893) ist eine Aussage der Funktionentheorie. Er besagt, dass die Automorphismengruppe einer hyperbolischen kompakten Riemannschen Fläche endlich ist, und gibt eine nur von topologischen Eigenschaften abhängige obere Schranke für deren Größe an.

Sei   eine kompakte Riemannsche Fläche vom Geschlecht   (d. h. homöomorph zu einer Sphäre  , an der   „Henkel“ angeklebt sind). Dann ist die Gruppe der holomorphen Automorphismen   endlich und enthält maximal   Elemente.

Für die Fälle   (die Riemannsche Zahlenkugel   mit unendlicher Automorphismengruppe) und   (Torus, ebenfalls mit unendlicher Automorphismengruppe) gilt die Abschätzung nicht. Die Gültigkeit der Abschätzung für   hängt damit zusammen, dass die universelle Überlagerung dieser Flächen die hyperbolische Halbebene   ist, was für   nicht mehr zutrifft.

Beispiel

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Die Kleinsche Quartik, definiert durch die Gleichung  , als Teilmenge vom projektiven Raum   aufgefasst, ist eine Riemannsche Fläche vom Geschlecht  . Ihre Automorphismengruppe ist isomorph zu   und besteht aus   Elementen.

Literatur

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  • A. Hurwitz: Über algebraische Gebilde mit eindeutigen Transformationen in sich. In: Math. Ann. Band 41, 1893, S. 403–442.