Satz von Hadwiger (Konvexgeometrie)

Der Satz von Hadwiger ist ein Lehrsatz des mathematischen Gebiets der Konvexgeometrie und als solcher angesiedelt zwischen den Gebieten der Geometrie und der Analysis. Er entstammt der von Hugo Hadwiger im Jahre 1955 vorgelegten Fachpublikation Altes und Neues über konvexe Körper und behandelt die polyedrische Approximation gewisser Teilmengen des euklidischen Raums durch konvexe Polyeder.[1]

Formulierung des Satzes

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Der Satz lässt sich in moderner Fassung wie folgt formulieren:[2]

Für jede kompakte konvexe Nullumgebung   und jedes   gibt es stets ein kompaktes konvexes Polyeder   mit
 .

Erläuterungen und Anmerkungen

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  • Hugo Hadwiger hat seinen Satz lediglich für Eikörper, also für konvexe und kompakte Punktmengen des dreidimensionalen euklidischen Raums, formuliert.[3] Dabei bezeichnet er ein konvexes Polyeder des dreidimensionalen euklidischen Raums als Eipolyeder.[4]
  • Eine Nullumgebung ist eine Punktmenge in einem topologischen Vektorraum, die dort Umgebung des Nullvektors ist.
  • Für eine Teilmenge   und eine reelle Zahl   besteht   exakt aus allen   mit  . Ist dabei   und   ein konvexes Polyeder, so nennt Hadwiger   in diesem Kontext das durch Dilatation mit   aus   hervorgehende homothetische Polyeder.

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Jürg T. Marti: Konvexe Analysis. 1977, S. 230–233
  2. Marti, op. cit., S. 231
  3. Hugo Hadwiger: Altes und Neues über konvexe Körper. 1955, S. 23–24
  4. Hadwiger, op. cit., S. 8