Satz über die Ausbreitung der Singularitäten

mathematisches Resultat

Unter dem Satz über die Ausbreitung der Singularitäten (englisch propagation of singularities theorem), auch Satz von Duistermaat-Hörmander, versteht man ein mathematisches Resultat aus der mikrolokalen Analysis, welches die Wellenfrontmenge der distributionalen Lösung der partiellen (Pseudo-)Differentialgleichung

für einen Pseudodifferentialoperator auf einer glatten Mannigfaltigkeit charakterisiert. Es sagt, dass die Ausbreitung der Singularitäten entlang des bicharakteristischen Flusses des Hauptsymboles von folgt.

Das Theorem erschien 1972 in einem Werk über Fourier-Integraloperatoren von Johannes Jisse Duistermaat und Lars Hörmander und seither gibt es viele Verallgemeinerungen, welche unter dem Namen Ausbreitung der Singularitäten oder Propagation der Singularitäten geläufig sind.[1]

Grundbegriffe

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Notation:

  •   eine  -differenzierbare Mannigfaltigkeit und   ist der Raum der glatten Funktionen   mit einer kompakten Menge  , so dass  .
  •   ist die Klasse der Pseudodifferentialoperatoren vom Typ   mit Symbol  
  •   ist die Symbolklasse.
  •  
  •   ist der Raum der Distributionen, der Dualraum von  .

Phasen-Funktion

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Seien   und   offene Mengen. Eine Funktion   nennt man reelle, positiv-homogene Funktion vom Grad   in  , falls   für jedes   und jedes  

Falls   und zusätzlich   (glatt, außer wenn  ), dann nennt man   eine Phasen-Funktion.

Fourier-Integraloperator

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Sei   wie oben und   eine Phasen-Funktion. Wir nennen den Operator

 

für   und   einen Fourier-Integraloperator (FIO) mit Phasenfunktion   und Symbol   mit  .[2]

Pseudodifferentialoperator

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Ein Fourier-Integraloperator heißt Pseudodifferentialoperator vom Typ  , falls   mit Phasenfunktion   und einem Symbol   ist. Mit   notieren wir sein Hauptsymbol.

Wellenfrontmenge

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Hamiltonsches System des Hauptsymbol

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Sei   die Hamilton-Funktion, dann ist das hamiltonsche System auf   gegeben durch

 

Eine Lösungs-Kurve des Systems nennt man Bicharakteristik von   und den Fluss des hamiltonschen Vektorfeldes nennt man bicharakteristischer Fluss. Die Kurven mit   nennt man Null-Bicharakteristik und die Menge bezeichnen wir mit

 [3]

Sei   ein eigentlich getragener Pseudodifferentialoperator der Klasse   mit reellem Hauptsymbol  , welches homogen und vom Grad   in   ist. Sei  , das die Gleichung   löst, dann folgt

 .

Des Weiteren ist   invariant unter dem durch   induzierten hamiltonischen Fluss.[4]

Literatur

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  • Lars Hörmander: Fourier integral operators. I. In: Institut Mittag-Leffler (Hrsg.): Acta Mathematica. Band 128, 1972, S. 79 - 183, doi:10.1007/BF02392052.
  • J. J. Duistermaat und L. Hörmander: Fourier integral operators. II. In: Institut Mittag-Leffler (Hrsg.): Acta Mathematica. Band 128, 1972, S. 183 - 269, doi:10.1007/BF02392165.
  • Mikhail A. Shubin: Pseudodifferential Operators and Spectral Theory. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. ISBN 978-3-540-41195-6.
  • Michael E. Taylor: Propagation, reflection, and diffraction of singularities of solutions to wave equations. In: American Mathematical Society (Hrsg.): Bulletin of the American Mathematical Society. Band 84, Nr. 4, 1978, S. 589 -- 611 (projecteuclid.org).

Einzelnachweise

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  1. J. J. Duistermaat und L. Hörmander: Fourier integral operators. II. In: Institut Mittag-Leffler (Hrsg.): Acta Mathematica. Band 128, 1972, S. 196, doi:10.1007/BF02392165.
  2. Lars Hörmander: Fourier integral operators. I. In: Institut Mittag-Leffler (Hrsg.): Acta Mathematica. Band 128, 1972, S. 98, doi:10.1007/BF02392052.
  3. Mikhail A. Shubin: Pseudodifferential Operators and Spectral Theory. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. ISBN 978-3-540-41195-6, S. 134–135.
  4. J. J. Duistermaat und L. Hörmander: Fourier integral operators. II. In: Institut Mittag-Leffler (Hrsg.): Acta Mathematica. Band 128, 1972, S. 196, doi:10.1007/BF02392165.