Sackur-Tetrode-Gleichung

Die Sackur-Tetrode-Gleichung ist eine Formel zur Berechnung der Entropie eines monoatomaren idealen Gases.

Sie lautet:

mit:

Volumen des Gases
Teilchenzahl
innere Energie des Gases
Boltzmannkonstante
Masse eines Gasteilchens
Plancksches Wirkungsquantum

Otto Sackur und Hugo Tetrode stellten unabhängig voneinander diese komplexe Gleichung auf.

FolgerungenBearbeiten

Da die Entropie von den Variablen   bekannt ist, lassen sich Temperatur, Druck und chemisches Potential ableiten (siehe Mikrokanonisches Ensemble):

 

Somit erhält man die inverse Temperatur durch Ableiten nach der Energie:

 

Hieraus erhält man die kalorische Zustandsgleichung:  

 

Hieraus erhält man die thermische Zustandsgleichung:  

 

Mit der thermischen De-Broglie-Wellenlänge   und der Beziehung für die Innere Energie   lässt sich die Sackur-Tetrode-Gleichung auch schreiben als:

 

HerleitungBearbeiten

Ein aus   Atomen bestehendes monoatomares ideales Gas befinde sich in einem abgeschlossenen Kasten (konstantes Volumen, kein Energie- oder Teilchenaustausch mit der Umgebung, keine äußeren Felder). Es ist also mikrokanonisch zu beschreiben. Hier berechnet sich die gesuchte Entropie aus der Zustandssumme über  .

Die mikrokanonische Zustandssumme ist:

 

Die Gasteilchen seien einzelne Atome (keine Rotationen oder Vibrationen, nur Translation möglich), die nicht miteinander wechselwirken. Die dazugehörige Hamiltonfunktion ist:

 

Eingesetzt in die Zustandssumme:

 

Die Ortsintegrationen ließen sich einfach ausführen. Nun geht man über zu  -dimensionalen Kugelkoordinaten, um die Impulsintegration zu vereinfachen. Der Radius ist  , somit schreibt sich ein Volumenelement als Radiuselement   mal Oberflächenelement  .

 

Das Integral über   ist die Oberfläche (Sphäre) einer 3N-dimensionalen Einheitskugel und beträgt:

 

Die Delta-Funktion lässt sich umschreiben zu:

 

Ergibt eingesetzt in die Zustandssumme:

 

Im Grenzfall großer Teilchenzahlen kann man die Fakultät mit der Stirling-Formel bis zur zweiten Ordnung entwickeln:  :

 

Die Entropie ergibt sich nun aus:

 

Für große   kann man den letzten Summanden vernachlässigen. Umsortieren liefert die Sackur-Tetrode-Gleichung:

 

Der Fall eines harmonischen Fallenpotentials wird als Erweiterung in[1] diskutiert.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Martin Ligare: Classical thermodynamics of particles in harmonic traps. In: American Journal of Physics. 78, Nr. 8, 2010, S. 815. doi:10.1119/1.3417868.