Die Sackur-Tetrode-Gleichung ist eine Formel zur Berechnung der Entropie eines monoatomaren idealen Gases.

Sie lautet:

mit:

Volumen des Gases
Teilchenzahl
innere Energie des Gases
Boltzmannkonstante
Masse eines Gasteilchens
Plancksches Wirkungsquantum

Otto Sackur und Hugo Tetrode stellten unabhängig voneinander diese komplexe Gleichung auf.

Folgerungen

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Da die Entropie von den Variablen   bekannt ist, lassen sich Temperatur, Druck und chemisches Potential ableiten (siehe Mikrokanonisches Ensemble):

 

Somit erhält man die inverse Temperatur durch Ableiten nach der Energie:

 

Hieraus erhält man die kalorische Zustandsgleichung:  

 

Hieraus erhält man die thermische Zustandsgleichung:  

 

Mit der thermischen De-Broglie-Wellenlänge   und der Beziehung für die Innere Energie   lässt sich die Sackur-Tetrode-Gleichung auch schreiben als:

 

Herleitung

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Ein aus   Atomen bestehendes monoatomares ideales Gas befinde sich in einem abgeschlossenen Kasten (konstantes Volumen, kein Energie- oder Teilchenaustausch mit der Umgebung, keine äußeren Felder). Es ist also mikrokanonisch zu beschreiben. Hier berechnet sich die gesuchte Entropie aus der Zustandssumme über  .

Die mikrokanonische Zustandssumme ist:

 

Die Gasteilchen seien einzelne Atome (keine Rotationen oder Vibrationen, nur Translation möglich), die nicht miteinander wechselwirken. Die dazugehörige Hamiltonfunktion ist:

 

Eingesetzt in die Zustandssumme:

 

Die Ortsintegrationen ließen sich einfach ausführen. Nun geht man über zu  -dimensionalen Kugelkoordinaten, um die Impulsintegration zu vereinfachen. Der Radius ist  , somit schreibt sich ein Volumenelement als Radiuselement   mal Oberflächenelement  .

 

Das Integral über   ist die Oberfläche (Sphäre) einer 3N-dimensionalen Einheitskugel und beträgt:

 

Die Delta-Funktion lässt sich umschreiben zu:

 

Ergibt eingesetzt in die Zustandssumme:

 

Im Grenzfall großer Teilchenzahlen kann man die Fakultät mit der Stirling-Formel bis zur zweiten Ordnung entwickeln:  :

 

Die Entropie ergibt sich nun aus:

 

Für große   kann man den letzten Summanden vernachlässigen. Umsortieren liefert die Sackur-Tetrode-Gleichung:

 

Der Fall eines harmonischen Fallenpotentials wird als Erweiterung in[1] diskutiert.

Einzelnachweise

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  1. Martin Ligare: Classical thermodynamics of particles in harmonic traps. In: American Journal of Physics. 78. Jahrgang, Nr. 8, 2010, S. 815, doi:10.1119/1.3417868.