Rekurrenter Tensor

mathematisches Objekt der Differentialgeometrie

Rekurrente Tensoren oder rekurrente Tensorfelder finden im mathematischen Gebiet der Differentialgeometrie Verwendung.

DefinitionBearbeiten

In der Differentialgeometrie wird ein rekurrenter Tensor wie folgt definiert: Sei   ein Zusammenhang auf einer Mannigfaltigkeit M. Ein Tensor A (im Sinne eines Tensorfeldes) heißt rekurrent bezüglich des Zusammenhangs  , falls es eine Einsform   auf M gibt, so dass

 .

BeispieleBearbeiten

Parallele TensorenBearbeiten

Beispiel für rekurrente Tensoren sind bezüglich eines Zusammenhangs parallele Tensoren ( ).

Ein Beispiel für einen parallelen Tensor ist eine (semi-)riemannsche Metrik bezüglich ihres Levi-Civita-Zusammenhangs. Sei M also eine Mannigfaltigkeit mit Metrik g, so wird durch die Metrik der Levi-Civita-Zusammenhang   definiert und aus der Definition folgt dann

 .

Ein weiteres Beispiel sind rekurrente Vektorfelder, wobei sich hier in besonderen Fällen aus rekurrenten Vektorfeldern parallele Vektorfelder ableiten lassen. Sei   dazu eine semiriemannschen Mannigfaltigkeit und   ein rekurentes Vektorfeld mit

 ,

so folgt aus   (  geschlossen), dass sich   zu einem parallelen Vektorfeld umskalieren lässt. Insbesondere lässt sich jedes Vektorfelder mit nicht verschwindender Länge zu einem parallelen Vektorfeld umskalieren.[1] Nicht parallele rekurrente Vektorfelder sind also insbesondere lichtartig.

Metrischer RaumBearbeiten

Ein weiteres Beispiel für einen rekurrenten Tensor taucht im Zusammenhang mit Weylstrukturen auf. Historisch entstand die Weylstruktur aus Überlegungen von Hermann Weyl zu Eigenschaften der Parallelverschiebung von Vektoren und deren Länge.[2] Aus der Forderung, eine Mannigfaltigkeit lokal affin beschreiben zu können, entsteht eine Bedingung an den mit der affinen Parallelverschiebung verbundenen Zusammenhang  . Er muss torsionsfrei sein:

 .

Für die zusätzliche Parallelverschiebung der Metrik forderte er als spezielle Eigenschaft, dass zwar nicht die Länge, wohl aber das Längenverhältnis von parallelverschobenen Vektorfeldern erhalten bleibe. Der auf diese Weise definierte Zusammenhang   erfüllt dann die Eigenschaft

 

für eine Einsform  . Insbesondere ist die Metrik also ein rekurrenter Tensor bezüglich  . Die so entstehende Mannigfaltigkeit   mit affinem Zusammenhang   und rekurrenter Metrik g nannte Weyl nun metrischer Raum. Genau genommen betrachtete Weyl dabei nicht nur eine Metrik, sondern die konforme Struktur   über g. Dies kann wie folgt motiviert werden:

Unter einer konformen Änderung   transformiert sich   in der Form  , wodurch eine Abbildung   auf der Mannigfaltigkeit   mit konformer Struktur   induziert wird. Dazu fixiert man   und   und definiert:

 .

  erfüllt so die Bedingungen einer Weylstruktur:[3]

 .

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Alekseevsky, Baum (2008)
  2. Weyl (1918)
  3. Folland (1970)