Reine Untergruppen spielen in der Theorie der abelschen (kommutativen) Gruppen eine wichtige Rolle. Ist eine abelsche Gruppe und eine Untergruppe, so kann man eine Gleichung der Form , die in lösbar ist, normalerweise nicht in lösen. Das heißt gibt es ein mit , so braucht es kein zu geben, das ich für einsetzen kann. So ist die Gleichung in lösbar, aber nicht in der Menge der ganzen Zahlen . Bei reinen Untergruppen ist dies stets möglich.

Definition

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  1. Es sei   eine Untergruppe der abelschen Gruppe  . Sind   und  , so heißt eine Gleichung   lösbar in  , wenn es ein   gibt, so dass   gilt.
  2. Die Gleichung heißt lösbar in  , wenn es ein   gibt mit  . Ist zum Beispiel   und  , so ist die Gleichung   in   lösbar aber nicht in  .
  3. Eine Untergruppe   der abelschen Gruppe   heißt rein, wenn jede in   lösbare Gleichung   mit   auch in   lösbar ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn für alle natürlichen Zahlen   gilt:  . Dabei ist  .
  4. Ist   eine Primzahl, so ist   p-rein, wenn für alle   gilt:  .[1][2]

Beispiele

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  1.   ist in   nicht rein. Denn die Gleichung   ist in   lösbar aber nicht in  .
  2.   ist in jeder Gruppe rein.
  3. Eine Gruppe   heißt teilbar, wenn für alle   gilt:  . Eine teilbare Gruppe ist in jeder Obergruppe rein.
  4. Jeder direkte Summand   einer Gruppe   ist rein in  .
  5. Ist   eine Familie von Gruppen, so ist   rein in  .
  6. Die Torsionsuntergruppe   von   ist rein in   und im Allgemeinen kein direkter Summand. Allgemeiner gilt: Ist   eine Untergruppe von   und die Faktorgruppe   torsionsfrei, so ist   rein in  .[3]

Einfache Tatsachen

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Es seien   Untergruppen. Dann gilt:

  • Ist   rein in   und   rein in  , so ist   rein in  .
  • Ist   rein in   so ist   rein in  .
  • Ist   eine aufsteigende Kette reiner Untergruppen von   , so ist   eine reine Untergruppe von  .

Rein exakte Folgen

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Eine kurze exakte Folge

 

abelscher Gruppen heißt rein exakte Folge, wenn   rein in   ist. Ist   eine abelsche Gruppe und   so bezeichnet man mit  .

Folgende Aussagen für eine exakte Folge abelscher Gruppen sind äquivalent:

  •   ist exakt für alle  .
  •   ist exakt für alle  .
  •   ist exakt für alle  .
  • Die exakte Folge ist rein exakt.[1]

Einzelnachweise

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  1. a b Lázló Fuchs: "Abelian Groups" im Kapitel "Purity and Basic Subgroups"
  2. Phillip A.Griffith in "Infinite abelian group theory" im Kapitel "Purity, Basic Subgroups, ...". Chicago Lectures in Mathematics
  3. László Fuchs: Abelian Groups. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2015, ISBN 978-3-319-19421-9, S. 150.

Literatur

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