Quaternionisch-hyperbolischer Raum

Der quaternionisch-hyperbolische Raum ist in der Mathematik ein mit Hilfe von Quaternionen definierter negativ gekrümmter symmetrischer Raum.

Definition

Seien $\mathbb {H}$ die Quaternionen und sei $\mathbb {H} ^{n,1}$ der $\mathbb {H}$-Vektorraum $\mathbb {H} ^{n+1}$ mit der Quaternionisch-hermiteschen Form

$\langle U,V\rangle =-u_{n+1}{\overline {v}}_{n+1}+\sum _{j=1}^{n}u_{j}{\overline {v}}_{j}$

für $U=(u_{1},\ldots ,u_{n+1}),V=(v_{1},\ldots ,v_{n+1})$. (Hierbei ist die quaternionische Konjugation definiert durch ${\overline {a+bi+cj+dk}}:=a-bi-cj-dk$ für reelle Zahlen a,b,c,d.)

Der n-dimensionale quaternionisch-hyperbolische Raum $\mathbb {H} H^{n}$ ist

$\mathbb {H} H^{n}=\left\{X\in \mathbb {H} ^{n,1}:\langle X,X\rangle =-1\right\}$

mit der von der Hermiteschen Form $\langle .,.\rangle$ induzierten Riemannschen Metrik.

Siegel-Modell

Eine äquivalente Definition erhält man mit dem Siegel-Modell. Hier benutzt man die quaternionisch-hermitesche Form $\langle U,V\rangle ={\overline {u}}_{1}v_{n+1}+{\overline {u}}_{2}v_{2}+\ldots +{\overline {u}}_{n}v_{n}+{\overline {u}}_{n+1}v_{1}$, betrachtet das Bild von $V_{-}:=\left\{U\in \mathbb {H} ^{n+1}:\langle U,U\rangle <0\right\}$ unter der Projektion auf den projektiven Raum $\pi :\mathbb {H} ^{n+1}\rightarrow P\mathbb {H} ^{n}$ und definiert $\mathbb {H} H^{n}:=\pi (V_{-})\subset P\mathbb {H} ^{n}$.

Geometrie

$\mathbb {H} H^{n}$ ist ein symmetrischer Raum vom Rang 1.

Für die Schnittkrümmung von Ebenen im $\mathbb {H} H^{n}$ gilt die Ungleichung $-4\leq K\leq -1$. Ebenen in $\mathbb {R} H^{n}\subset \mathbb {H} H^{n}$ haben Schnittkrümmung $-1$, während die Ebene $\mathbb {C} H^{1}\subset \mathbb {H} H^{1}\subset \mathbb {H} H^{n}$ die Schnittkrümmung $-4$ hat.

Isometrien und Quasi-Isometrien

Die Isometriegruppe des $\mathbb {H} H^{n}$ ist $PSp(n,1)=Sp(n,1)/\left\{\pm 1\right\}$, dabei ist $Sp(n,1)$ die Lie-Gruppe

$Sp(n,1)=\left\{A\in GL(n+1,\mathbb {H} ):\langle AU,AV\rangle =\langle U,V\rangle \forall U,V\in \mathbb {H} ^{n,1}\right\}=GL(n+1,\mathbb {H} )\cap U(2n,2)$.

Alle Quasi-Isometrien des $\mathbb {H} H^{n}$ haben endlichen Abstand von einer Isometrie.

Quaternionisch-hyperbolische Mannigfaltigkeiten

Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit heißt quaternionisch-hyperbolisch, wenn ihre universelle Überlagerung isometrisch zum $\mathbb {H} H^{n}$ ist.

Weblinks

• Jean-François Quint: An overview of Patterson-Sullivan theory pdf
• Gongopadhyay, Parsad: Classification of quaternionic hyperbolic isometries pdf