Poissonsche Summenformel

mathematischer Satz

Die poissonsche Summenformel ist ein Hilfsmittel der Fourier-Analysis und Signalverarbeitung. Sie dient unter anderem zur Analyse der Eigenschaften von Abtastmethoden.

Sei   eine Schwartz-Funktion und sei

 

die kontinuierliche Fourier-Transformation von   in  . Dann besagt die poissonsche Summenformel

 

Diese Identität gilt auch für bestimmte allgemeinere Klassen von Funktionen. Geeignete Voraussetzungen sind beispielsweise, dass die Funktion   zweifach stetig differenzierbar und der Ausdruck   beschränkt ist.

Unter Ausnutzung der elementaren Eigenschaften der Fourier-Transformation ergibt sich daraus die allgemeinere Formel mit zusätzlichen Parametern  

 

Setzt man in der allgemeineren Form  ,

 

so kann die poissonsche Summenformel auch als Identität einer Fourier-Reihe mit Funktionswerten von   als Koeffizienten auf der linken Seite und einer Periodisierung der Fourier-Transformierten von   auf der rechten Seite gelesen werden. Diese Identität gilt mit Ausnahme einer Menge vom Maß Null, wenn   eine bandbeschränkte Funktion ist, das heißt die Fourier-Transformierte eine messbare Funktion in   mit kompaktem Träger ist.

Formulierung mittels Dirac-Kamm

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Der Dirac-Kamm zur Intervalllänge   ist die Distribution

 

Die Fourier-Transformierte   einer temperierten Distribution   ist definiert durch

 

in Analogie zur Plancherel-Identität. Da die Fouriertransformation ein stetiger Operator auf dem Schwartzraum ist, definiert dieser Ausdruck tatsächlich eine temperierte Distribution.

Der Dirac-Kamm ist eine temperierte Distribution, und die poissonsche Summenformel besagt nun, dass

 

ist. Dies lässt sich auch in der Form

 

schreiben. Dabei sind die Exponentialfunktionen als temperierte Distributionen aufzufassen, und die Reihe konvergiert im Sinne von Distributionen, also im Schwach-*-Sinne, gegen den Dirac-Kamm. Man beachte aber, dass sie im gewöhnlichen Sinne nirgendwo konvergiert.

Zum Beweis

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Sei f genügend glatt und im Unendlichen genügend schnell fallend, sodass die Periodisierung

 

stetig, beschränkt, differenzierbar und periodisch mit Periode 1 ist. Diese kann also in eine punktweise konvergente Fourier-Reihe entwickelt werden,

 

Deren Fourier-Koeffizienten bestimmen sich nach der Formel

 

Ebenfalls aus dem schnellen Abfall im Unendlichen folgt, dass die Summe mit dem Integral vertauscht werden kann. Daher gilt mit s=t+n weiter

 

Zusammenfassend gilt

 

woraus sich bei   die Behauptung ergibt.

Anwendung auf bandbeschränkte Funktionen

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Sei x bandbeschränkt mit höchster Frequenz W, das heißt  . Ist dann   so tritt in der rechten Seite der Summenformel nur ein Summand auf, mit den Ersetzungen  , t=0 und Multiplikation eines Faktors erhält man

 

Nach Multiplikation mit der Indikatorfunktion des Intervalls [-W,W] und nachfolgend der inversen Fourier-Transformation ergibt sich

 

Im Grenzfall   ist dies die Rekonstruktionsformel des Nyquist-Shannon-Abtasttheorems

 

wobei   die Sinc-Funktion mit   ist.

Anwendungen in der Zahlentheorie

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Mit Hilfe der Poissonschen Summenformel kann man zeigen, dass die Theta-Funktion

 

der Transformationsformel

 

genügt. Diese Transformationsformel wurde von Bernhard Riemann beim Beweis der Funktionalgleichung der Riemannschen Zeta-Funktion verwendet.

Literatur

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  • Elias M. Stein, Guido Weiss: Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces. 1. Auflage. Princeton University Press, Princeton, N.J. 1971, ISBN 978-0-691-08078-9.
  • J. R. Higgins: Five short stories about the cardinal series. In: Bulletin of the American Mathematical Society. 12, 1, 1985, ISSN 0002-9904, S. 45–89, online (PDF; 4,42 MB).
  • John J. Benedetto, Georg Zimmermann: Sampling multipliers and the Poisson summation formula. In: The journal of Fourier analysis and applications. 3, 5, 1997, ISSN 0002-9904, S. 505–523, online.