Perfektoider Ring

Ein perfektoider Ring ist ein spezieller topologischer Ring. Der Begriff wurde 2012 von Peter Scholze in seiner Theorie perfektoider Räume eingeführt.

Definition

Sei $p$ eine feste Primzahl. Ein perfektoider Ring $A$ ist ein vollständiger und gleichmäßiger Tatescher Huber-Ring, der eine topologisch nilpotente Einheit $\varpi \in A$ (auch pseudo-uniformisierendes Element genannt) besitzt, sodass die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

$\varpi ^{p}$ teilt $p$ im Ring potenz-beschränkter Elemente $A^{\circ }\subset A$ .
Der Frobenius-Homomorphismus $A^{\circ }/\varpi \to A^{\circ }/\varpi ^{p},a\mapsto a^{p}$ ist bijektiv.

Ein perfektoider Körper ist ein perfektoider Ring, der ein Körper ist.^[1]

Erläuterungen zu den Begriffen in der Definition:

Ein vollständiger Huber-Ring ist ein vollständiger topologischer Ring $A$ , der einen offenen Teilring $A_{0}$ besitzt, der wiederum ein endlich erzeugtes Ideal $I\subset A_{0}$ besitzt, sodass $\{I^{n}\}_{n\geq 0}$ in der Teilraumtopologie von $A_{0}$ eine Umgebungsbasis von $0$ ist. Gefordert ist lediglich die Existenz von $A_{0}$ bzw. $I$ . $A_{0}$ ist also ein $I$ -adischer Ring.
Ein vollständiger Huber-Ring heißt Tatesch, falls er eine topologisch nilpotente Einheit besitzt. Das ist ein invertierbares Element $a\in A$ mit $a^{n}\to 0$ für $n\to \infty$ .
Ein topologischer Ring heißt gleichmäßig, falls der Teilring potenz-beschränkter Elemente $A^{\circ }$ eine beschränkte Teilmenge von $A$ ist. Das heißt, dass für jede Umgebung $U\subset A$ der $0$ eine offene Umgebung $V\subset A$ der $0$ existiert, sodass $ax\in U$ für alle $a\in A^{\circ }$ und alle $x\in V$ gilt.^[2]