Linear topologisierter Ring

topologischer Ring, dessen Topologie von einer Umgebungsbasis von Idealen induziert wird
(Weitergeleitet von Huber-Ring)

Ein linear topologisierter Ring ist ein topologischer Ring, dessen Topologie von einer Umgebungsbasis von Idealen induziert wird. Diese Ringe finden Anwendung in der formalen und analytischen Geometrie.

Definition

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Ein topologischer Ring heißt linear topologisiert, wenn seine Topologie von einer Umgebungsbasis von Idealen induziert wird.[1]

In der Theorie formaler Schemata, rigid analytischer Räume und adischer Räume sind viele verschiedene linear topologisierte Ringe im Gebrauch. Wir geben einen Überblick über die wichtigsten Definitionen.

  • Ein Ideal   eines linear topologisierten Ringes   heißt Definitionsideal, falls   offen ist und jede Umgebung von   das Ideal   für ein   enthält.[2]
  • Besitzt ein linear topologisierter Ring ein Definitionsideal, so heißt er prä-zulässig.[3]
  • Ein vollständiger und separierter prä-zulässiger Ring heißt zulässig.[4]
  • Ein prä-zulässiger Ring heißt prä-adisch, falls es ein Definitionsideal   gibt, sodass   eine Umgebungsbasis von   ist.[5]
  • Ein vollständiger und separierter prä-adischer Ring heißt adisch.[6]

Hier sind verschiedene Konventionen im Gebrauch: Beispielsweise nennt Morel einen prä-adischen Ring bereits „adisch“.[7]

Huber-Ringe

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Diese Begriffe werden weiter zu sogenannten Huber-Ringen verallgemeinert. Sie bilden die Grundlage für die Definition von Huber-Paaren, welche die Grundbausteine adischer Räume sind.

  • Ein topologischer Ring   heißt Huber-Ring (oder f-adisch), falls es einen offenen Teilring   gibt, der prä-adisch für ein endlich erzeugtes Definitionsideal   ist. Wir nennen   einen Definitionsring von   und   ein Definitionspaar für  .[8]
  • Ein Tate-Ring (oder Tatescher Huber-Ring) ist ein Huber-Ring, der eine topologisch nilpotente Einheit enthält. Das ist ein invertierbares Element   mit   für  .[9]
  • Ein Huber-Ring   heißt garbig (engl. sheafy), falls für jeden Ring ganzer Elemente   der Vervollständigung  , die Strukturprägarbe   des adischen Spektrums   eine Garbe topologischer Ringe ist.[10]

Beispiele

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  • Ist   ein diskreter Ring, so ist   ein adischer Huber-Ring mit Definitionsideal  . Jeder Teilring von   ist ein Definitionsring. Ein Element von   ist genau dann topologisch nilpotent, wenn es nilpotent ist, denn jede gegen   konvergente Folge ist stationär. Insbesondere ist   nicht Tatesch, es sei denn   ist der Nullring.
  • Ist   ein indiskreter Ring, so ist   ein prä-adischer Huber-Ring mit Definitionsideal  .   selbst ist der einzige Definitionsring und das einzige Definitionsideal für  .   ist nicht separiert, es sei denn   ist der Nullring. Jedes Element ist topologisch nilpotent, insbesondere ist   eine topologisch nilpotente Einheit und   ist Tatesch. Man beachte, dass dieses Beispiel insofern pathologisch ist, als dass bei adischen Räumen grundsätzlich mit vollständigen Ringen gearbeitet werden kann. Beim Übergang zur Vervollständigung erhalten wir den Nullring.
  •   mit der  -adischen Topologie ist ein adischer Huber-Ring mit Definitionsring   und Definitionsideal  . Er ist kein Tate-Ring, denn jedes topologisch nilpotente Element in   ist ein Vielfaches von   und somit nicht invertierbar.
  •   mit der  -adischen Topologie ist ein adischer Tate-Ring mit Definitionsring   und Definitionsideal  . Das Element   ist eine topologisch nilpotente Einheit.   selbst ist aber nicht linear topologisiert, denn   ist weder diskret noch indiskret.
  •   mit der Standard-Topologie ist weder linear topologisiert noch ein Huber-Ring. Jede offene Untergruppe von   ist bereits ganz  .

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Stacks project: Tag 07E8 (3)
  2. Stacks project: Tag 07E8 (4)
  3. Stacks project: Tag 07E8 (5)
  4. Stacks project: Tag 07E8 (6)
  5. Stacks project: Tag 07E8 (7)
  6. Stacks project: Tag 07E8 (8)
  7. Morel: Def. II.1.1.1 (ii)
  8. Morel: Def. II.1.1.1 (iii)
  9. Morel: Def. II.1.1.1 (iv)
  10. Wedhorn: Def. 8.26