Eine partielle Isometrie ist ein spezieller Typ von im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersuchten Operatoren. Dabei handelt es sich um Operatoren, die sich auf einem Untervektorraum wie eine Isometrie verhalten und sonst 0 sind, das erklärt ihren Namen. Mittels partieller Isometrien werden Äquivalenzen von Projektionen definiert.

Definition Bearbeiten

Seien   ein Hilbertraum und   ein stetiger linearer Operator.   heißt eine partielle Isometrie, wenn die Einschränkung von   auf das orthogonale Komplement von   eine Isometrie ist, d. h.  .

Das orthogonale Komplement des Kerns einer partiellen Isometrie nennt man ihren Anfangsraum (engl. initial space), das Bild einer partiellen Isometrie heißt ihr Zielraum (engl. final space). Demnach ist eine partielle Isometrie eine Isometrie zwischen ihrem Anfangsraum und ihrem Zielraum.

Beispiele Bearbeiten

  • Isometrien (speziell also auch unitäre Operatoren) sind partielle Isometrien mit der Besonderheit, dass  .
  • Orthogonalprojektionen sind partielle Isometrien mit der Besonderheit, dass der isometrische Anteil, d. h. die Einschränkung der Orthogonalprojektion auf das orthogonale Komplement ihres Kerns, die Identität ist.
  •   ist eine partielle Isometrie mit Anfangsraum   und Zielraum  . In diesem Beispiel liegt der Zielraum schräg zur Zerlegung Kern + Anfangsraum.

Eigenschaften Bearbeiten

Ist   eine partielle Isometrie, so ist   der Anfangsraum,   ist der Zielraum.

Für einen stetigen, linearen Operator   auf einem Hilbertraum sind folgende Aussagen äquivalent:

  •   ist eine partielle Isometrie.
  •   ist eine Projektion.
  •  

Mit   ist auch   eine partielle Isometrie, wobei Anfangs- und Zielraum ausgetauscht sind.

Äquivalenz von Projektionen Bearbeiten

Es sei   eine Von-Neumann-Algebra, d. h. es gibt einen Hilbertraum  , so dass   eine C*-Algebra ist, die mit ihrem Bikommutanten übereinstimmt (siehe Bikommutantensatz). Zwei Orthogonalprojektionen   und   aus   heißen äquivalent (bezüglich  ) und man schreibt  , wenn es eine partielle Isometrie   mit Anfangsraum   und Zielraum   gibt, das heißt in Formeln   und  . Weiter schreibt man  , wenn   äquivalent zu einer Unterprojektion von Q ist, das heißt, wenn es eine Projektion   gibt mit   und  .

Man kann zeigen, dass   eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Projektionen von   ist, und dass   eine partielle Ordnung auf der Menge der Äquivalenzklassen definiert. Ferner ist   äquivalent zu   und  . Diese Ordnungsrelation spielt eine wichtige Rolle bei der Typklassifikation von Von-Neumann-Algebren.

Siehe auch Bearbeiten

Partielle Isometrien spielen eine wichtige Rolle in der Polarzerlegung von Operatoren.

Quellen Bearbeiten