Die Panjer-Rekursion (oder auch Panjer-Algorithmus) ist ein Algorithmus um die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer speziellen zusammengesetzten Zufallsvariable

zu berechnen. Dabei sind und Zufallsvariablen, welche ein kollektives Modell bilden, und bezeichnet die Indikatorfunktion.

Der Algorithmus wurde in einer Publikation von Harry Panjer erstmals veröffentlicht.[1] Er wird im Versicherungswesen häufig benutzt.

Vorbedingungen

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Wir sind an der speziellen zusammengesetzten Zufallsvariable   interessiert, wobei   und   die folgenden Vorbedingungen erfüllen müssen:

Schadenanzahlverteilung

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  ist eine „Schadenanzahlverteilung“, d. h.  .   ist unabhängig von  .

Weiterhin muss   ein Element der Panjer-Klasse sein. Die Panjer-Klasse besteht aus allen Zufallsvariablen mit Werten in  , welche die folgende Relation erfüllen:

  mit   und für   und   mit  .

Der Wert   wird so bestimmt, dass   erfüllt ist.

Sundt bewies im Paper[2], dass nur die Binomialverteilung, die Poisson-Verteilung und die Negative Binomialverteilung in der Panjer-Klasse liegen. Sie haben die Parameter und Werte wie in der folgenden Tabelle beschrieben, wobei   die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion bezeichnet.

Verteilung              
Binomial              
Poisson              
Negative Binomial              

Einzelschadenverteilung

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Wir nehmen an, dass   identisch verteilte unabhängige Zufallsvariablen sind, welche unabhängig von   sind. Weiterhin muss   auf einem Gitter   mit Gitterlänge   verteilt sein.

 

Rekursion

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Der Algorithmus verwendet eine Rekursion, um die Wahrscheinlichkeiten   zu berechnen.

Der Startwert ist:  

mit den Spezialfällen
 
und
 

Die nachfolgenden Werte können folgendermaßen berechnet werden:

 

Beispiel

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Abbildung 1

Abbildung 1 zeigt die approximierte Dichtefunktion von   wobei   und  . Die Einzelschadenverteilung wurde mit einer Gitterbreite   diskretisiert (siehe auch Fréchet-Verteilung).

Siehe auch

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Literatur

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  • Schmidt, Klaus D.: Versicherungsmathematik, Springer Dordrecht Heidelberg London New York 2009, ISBN 978-3-642-01175-7.

Einzelnachweise

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  1. Harry H. Panjer: Recursive evaluation of a family of compound distributions. In: ASTIN Bulletin. 12. Jahrgang, Nr. 1, 1981, S. 22–26, doi:10.1017/S0515036100006796 (casact.org [PDF]).
  2. B. Sundt and W. S. Jewell: Further results on recursive evaluation of compound distributions. In: ASTIN Bulletin. 12. Jahrgang, Nr. 1, 1981, S. 27–39, doi:10.1017/S0515036100006802 (casact.org [PDF]).