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Ein thermodynamisches System ist ein wohl definierbares Teilstück der Welt. Es hat physikalische Eigenschaften, die sich durch die Gesetze der Thermodynamik beschreiben lassen. Es muss gegenüber seiner Umgebung abgegrenzt, aber nicht isoliert sein. Was zu ihm hinzuzurechnen ist, muss eindeutig und klar feststellbar sein.[1] Die Festlegung der Begrenzungsflächen zur Umgebung, auch Systemgrenzen genannt, ist willkürlich; eine geschickte Wahl der Systemgrenzen kann die Lösung einer thermodynamischen Aufgabe erheblich vereinfachen.[2]

Ein Beispiel für ein thermodynamisches System ist ein Stück Eis, das auf Wasser schwimmt. Auch eine Menge Meerwasser in einem Becherglas kann als ein thermodynamische System betrachtet werden; das in dem Meerwasser gelöste Salz ist dagegen kein thermodynamisches System. Weitere Beispiele für thermodynamische Systeme sind der Inhalt einer verschlossenen Flasche Mineralwasser, der Inhalt einer Thermoskanne, die Luft im Kolben einer Luftpumpe oder das Gemisch im Brennraum eines Ofens oder eines Verbrennungsmotors.[1][3][4]

Ein thermodynamisches System braucht gegenüber seiner Umgebung nicht isoliert zu sein. So kann das auf dem Wasser schwimmende Stück Eis sowohl Wassermoleküle und Energie an seine Umgebung aus Wasser und Luft abgeben, als auch aus ihr aufnehmen. Ein System, das sowohl Materie als auch Energie mit seiner Umgebung austauschen kann, nennt man offen; ein System, das Energie aber keine Materie mit seiner Umgebung austauschen kann, wird als geschlossen bezeichnet; und ein System, das weder Energie noch Materie austauschen kann, wird isoliert (manchmal auch abgeschlossen) genannt. Bei den obigen Beispielen sind das Stück Eis und das Meerwasser im Becherglas offene Systeme, die geschlossene Mineralwasserflasche ein geschlossenes System und der Inhalt der Isolierkanne näherungsweise ein isoliertes System.[3]

Die Beschreibung der Übergänge zwischen verschiedenen Gleichgewichtszuständen thermodynamischer Systeme und die damit verbundenen Energie- und Stoffumwandlungen sind der Gegenstand der Thermodynamik.[4]

Inhaltsverzeichnis

AllgemeinesBearbeiten

 
Beispiel für ein thermodynamisches System bestehend aus Wasser (ein Reinstoff) in drei verschiedenen Gleichgewichtszuständen

Thermodynamische Systeme wurden zuerst bei der Suche nach einer optimalen Wärmekraftmaschine betrachtet. Nicolas Léonard Sadi Carnot nannte sie „substance employée“ und „substance mise en œuvre“ in seiner berühmten Arbeit von 1824.[5] Rudolf Clausius schrieb 1850[6] von einem „wirksamen Körper“, und Josiah Willard Gibbs benutzte in seiner Analyse heterogener Systeme[7] den Begriff „material system“. Gegen Ende des 19. Jahrhunderts etablierte sich der Begriff thermodynamisches System.

Ein thermodynamisches System ist ein physikalisches Objekt, das sich im Rahmen der Thermodynamik durch ein mathematisches Modell beschreiben lässt. Die Postulate der Thermodynamik und spezifische Materialkonstanten erlauben Rückschlüsse von diesem Modell auf physikalische und chemische Eigenschaften des Systems für verschiedene Umgebungsbedingungen und bei Einwirkungen von außen.

Darüber hinaus werden in einigen Gedankenexperimenten hypothetische thermodynamische Systeme betrachtet; etwa Systeme mit Trennwänden, die nur bestimmte Atome oder Moleküle passieren lassen, obwohl solch selektive Trennwände nicht für jedes beliebige Molekül bekannt sind. In Gedankenexperimenten zur Hohlraumstrahlung werden Behälter mit ideal spiegelnden Innenwänden benutzt. Sie enthalten keine Materie, sondern nur elektromagnetische Felder. Mit einem solchen, geschickt ausgedachten, hypothetischen „Spiegelkasten“ als thermodynamisches System konnte Willy Wien 1893 das Verschiebungsgesetz für die Hohlraumstrahlung theoretisch begründen.[8]

Gleichgewicht und ZustandsgrößenBearbeiten

Ein thermodynamisches System befindet sich im Gleichgewicht, wenn sich die unmittelbar feststellbaren Eigenschaften und weitere aus Vortheorien bekannte messbare Größen – wie Entfernungen, Massenwerte, Kräfte – zeitlich nicht ändern; mit Vortheorien sind meist die Mechanik oder die Elektrodynamik gemeint.[A 1] Die Theorie der Gleichgewichtszustände thermodynamischer Systeme wird Thermostatik genannt.[1]

Im mathematischen Modell eines thermodynamischen Systems werden einige Teile des Systems durch idealisierte Nebenbedingungen ersetzt. Die Systemgrenzen werden etwa als idealisierte Randflächen angesehen; Größe und Form sind von außen vorgegebene Bedingungen. Diese idealisierten Nebenbedingungen werden durch einen oder wenige Parameter im Modell berücksichtigt.[1] Diese Parameter werden Arbeitskoordinaten[4][9] oder äußere Zustandsgrößen[2][A 2] genannt. Bei Systemen in einem einzigen Behälter gibt es oft nur eine Arbeitskoordinate, nämlich das Volumen des Behälters. Bei Objekten, wie einem Wassertropfen, bei welchen die Oberflächenspannung eine Rolle spielt, ist auch die Größe der Oberfläche eine Arbeitskoordinate.[10][11] Befindet sich das System in einem homogenen äußeren elektrischen oder magnetischen Feld, ist die elektrische oder magnetische Feldstärke eine Arbeitskoordinate.

Die Menge der möglichen Gleichgewichtszustände eines thermodynamischen Systems entspricht im mathematischen Bild einem Gebiet in einem endlich dimensionalen reellen Vektorraum  , es ist der Zustandsraum der Gleichgewichtszustände  . Die Arbeitskoordinaten können als Koordinaten zur Angabe eines Zustandes benutzt werden, aber sie reichen alleine nicht aus, um einen Gleichgewichtszustand eines thermodynamischen Systems eindeutig festzulegen. Hierfür müssen noch zusätzlich die Werte von inneren Zustandsgrößen (wie zum Beispiel die innere Energie oder die Temperatur) angegeben werden.[12]

Einfache thermodynamische SystemeBearbeiten

Thermodynamische Systeme, deren Gleichgewichtszustände durch einen Satz von Arbeitskoordinaten und der Angabe der inneren Energie eindeutig bestimmt sind, werden einfache thermodynamische Systeme[12][13][14] genannt. Die meisten der in Lehrbüchern und in der technischen Thermodynamik betrachteten Systeme sind einfache thermodynamische Systeme. Nach Lieb und Yngvason sind die einfachen thermodynamischen Systeme die Bausteine der Thermodynamik.

Beispiele für einfache thermodynamische Systeme sind[13]:

  1. Ein Mol Wasser in einem Kolben (eine Arbeitskoordinate)
  2. Ein halbes Mol Sauerstoff in einem Kolben in einem homogenen Magnetfeld (zwei Arbeitskoordinaten: Volumen und Magnetisierung)
  3. Die Systeme der Beispiele 1 und 2 durch eine wärmeleitenden Kupferdraht verbunden (drei Arbeitskoordinaten)

Ein Beispiel für ein nicht einfaches thermodynamisches System ist ein Gesamtsystem bestehend aus zwei voneinander isolierten einfachen Systemen. Auch sind Systeme mit ferromagnetischem Material in einem Magnetfeld wegen ihrer Hysterese keine einfachen thermodynamischen Systeme.

SkalierbarkeitBearbeiten

Für eine Skalierung eines thermodynamischen Systems definiert man: werden alle geometrischen Abmessungen, also alle Abstände, mit einem Faktor   und alle Stoffmengen mit einem Faktor   multipliziert, so werden die Zustandsgrößen, die sich dabei um einen Faktor   verändern, extensiv und solche, die sich dabei nicht ändern, intensiv genannt. Nach Ludwig sollten die Arbeitskoordinaten extensive Zustandsgrößen sein. Die innere Energie und die Entropie sind ebenfalls extensive Zustandsgrößen, während der Druck und die Temperatur intensive Zustandsgrößen sind.[15][4]

Die Forderung, dass Zustandsgrößen extensiv oder intensiv sind, schränkt die Zustandsgrößen als Funktionen der Koordinaten über dem Zustandsraum wesentlich ein. Aus dieser Skalierbarkeit kann auf wichtige Beziehungen für die chemischen Potentiale, wie die Gibbs-Duhem-Gleichung, geschlossen werden. Für ein einfaches thermodynamisches System mit einer Arbeitskoordinate  ,   Reinstoffen mit den Stoffmengen   und der inneren Energie   gilt, wenn   ein Gleichgewichtszustand ist, dann ist auch der Punkt   ein Gleichgewichtspunkt für das um den Faktor   skalierte System.

Dividiert man eine extensive Zustandsgröße durch die Stoffmenge, die Masse oder das Volumen eines Stoffes, so erhält man eine intensive, also skaleninvariante, Größe, die als molare Zustandsgröße, spezifische Zustandsgröße beziehungsweise als Dichte bezeichnet wird.[2]

KlassifizierungenBearbeiten

Nach der inneren StrukturBearbeiten

Thermodynamische Systeme können sehr komplex aus unterschiedlichen Stoffen zusammengesetzt sein.[9] Sie lassen sich nach ihrer inneren Struktur klassifizieren.

Bereiche eines thermodynamischen Systems, in welchen lokale physikalische Eigenschaften wie Dichte und Druck, sowie die chemische Zusammensetzung überall gleich sind, werden nach Gibbs[7] homogen genannt und einer Phase zugeordnet. Beispielsweise werden bei einem System aus Wasser und einigen Eiswürfeln alle Eiswürfel einer Phase zugeordnet. Gleiche chemische Zusammensetzung bedeutet nicht, dass nur ein einziger chemischer Stoff vorliegen muss, es kann sich auch um ein Gemisch aus verschiedenen Stoffen handeln.

Ein thermodynamisches System heißt homogen, wenn es nur aus einer einzigen Phase besteht, andernfalls heterogen. Homogene und nur aus wenigen Phasen bestehende thermodynamische Systeme können mit den Methoden der Thermostatik mit einem endlich dimensionalen Zustandsraum,  , beschrieben werden.[2]

Andere komplexere Systeme erfordern eine Kontinuumstheorie im Rahmen der irreversiblen Thermodynamik. In dieser Theorie werden lokale Gleichgewichtszustände und räumlich und zeitlich variierende Zustandsgrößen eingeführt. Die Zustandsgrößen sind Felder, die einen Satz von partiellen Differentialgleichungen erfüllen müssen; Beispiele hierfür sind die Wärmeleitungsgleichung für Feststoffe und die Navier-Stokes-Gleichungen für flüssige oder gasförmige Systeme. Spielen Kraftfelder wie elektromagnetische Felder oder das Gravitationsfeld eine Rolle, so führt dieses bei räumlich ausgedehnten Systemen zu Inhomogenitäten; ein Beispiel ist das System der Erdatmosphäre in der Meteorologie, ein weiteres das Innere von Sternen in der Astrophysik.[16] Bei vielen Lehrbüchern der technischen Thermodynamik werden solche Systeme im Vorwege ausgeschlossen. Auch in der physikalischen Literatur wird von thermodynamischen Systemen meist nur im Zusammenhang mit aus wenigen Phasen bestehenden Systemen in der Thermostatik gesprochen. Die technischen Lehrbücher beschäftigen sich vor allem mit Systemen, die nur aus gasförmigen oder flüssigen Phasen bestehen. Man spricht von einem Fluid und meint damit eine Flüssigkeit oder ein Gas.[4][2]

Nach Stoff-KomponentenBearbeiten

Weiter lassen sich die thermodynamische Systeme nach der Anzahl der Reinstoffe (chemische Verbindungen oder chemische Elemente) in ihrem Inneren klassifizieren. Ein Verständnis der thermodynamischen Eigenschaften von Systemen, die nur aus einem einzigen Reinstoff bestehen, ist oft eine Voraussetzung für die Analyse von Systemen mit Gemischen. Für die Systeme aus nur einem Reinstoff sind die Zustandsgleichungen für die thermodynamischen Zustandsgrößen meist in Grafiken, Tabellen oder Datenbanken verfügbar. Systeme aus einem einzigen Reinstoff können heterogen sein, nämlich dann wenn sie aus mehreren Phasen bestehen; wie gasförmig, flüssig oder verschiedene feste Erscheinungsformen. Liegen gleichzeitig eine flüssige und eine gasförmige Phase vor, so spricht man vom Nassdampfgebiet des Stoffs.[17]

Enthält eine Phase eines thermodynamischen Systems ein Gemisch aus mehreren Reinstoffen, so nennt man die Phase eine Mischphase, dieses Gemisch ist als eine Phase homogen. Die Stoffmengenanteile der einzelnen Reinstoffen in einer Mischphasen sind dann zusätzliche Zustandsgrößen des Gesamtsystems. Bei besonderen Anwendungen etwa bei sehr tiefen Temperaturen, müssen auch die Isotope eines Elementes als verschiedene Reinstoffe behandelt werden, wie bei 3He und 4He.

Es gibt Gemische, bei denen die enthaltenen Reinstoffe chemisch reagieren können. Thermodynamische Systeme mit chemisch reagierenden Gemischen sind nur dann im thermodynamischen Gleichgewicht, wenn sich auch ein chemisches Gleichgewicht zwischen den Reaktanten und Produkten gebildet hat. Dieses chemische Gleichgewicht hängt von den thermodynamischen Zustandsgrößen, wie Druck und Temperatur ab. Die Analyse solcher Systeme ist zentral für die physikalische Chemie und die chemische Verfahrenstechnik.[18]

Nach der Wechselwirkung mit der UmgebungBearbeiten

Thermodynamische Systeme lassen sich nach der Wechselwirkung mit ihrer Umgebung klassifizieren; also danach, ob Energie und Materie die Systemgrenzen passieren kann. Ein isoliertes thermodynamisches System wechselwirkt nicht mit seiner Umgebung. Sein Ort im Zustandsraum,   bleibt nach der Einstellung des Gleichgewichts immer am selben Punkt. Von Interesse sind isolierte Systeme, wenn die Einstellung des Gleichgewichts untersucht werden soll. Will man von zwei isolierten thermodynamischen Systemen wissen, welches Gleichgewicht sich einstellt, wenn man die beiden System miteinander verbindet oder gar vereinigt, so sollte das aus beiden Einzelsystemen bestehende Gesamtsystem isoliert sein.

Bei geschlossenen thermodynamischen Systemen kann Energie nur in Form von Wärme und Arbeit die Systemgrenzen passieren. Ist nur der Austausch in Form von Arbeitsenergie möglich, so nennt man das System adiabatisch.

Systeme, die nicht isoliert und nicht geschlossen sind, heißen offen. Bei ihnen kann sowohl Energie als auch Materie die Systemgrenze passieren. Offene Systeme findet man häufig bei technischen Anlagen. Eine Turbine hat zwei Eingangsströme (Luft und Treibstoff), einen Ausgangsstrom von Verbrennungsgasen und eine Abgabe mechanischer Leistung über eine Welle. Bei einer Rektifizierungskolonne gibt es einen einlaufenden Strom aus einem Gemisch und mindestens zwei auslaufende Ströme mit den angereicherten Komponenten des Gemisches.[2][3]

BilanzgleichungenBearbeiten

 
Übersicht über verschiedene thermodynamische Systeme

Die Systemgrenzen eines offenen Systems schließen einen Raum ein, der in technischen Anwendungen oft Kontrollraum genannt wird, bei den Systemgrenzen spricht man auch von der Bilanzhülle. Aus den Erhaltungssätzen für Energie und Materie lassen sich für solche Systeme Gleichungen für die Energiebilanz und die Stoffbilanz aufstellen.[19]

Offenes SystemBearbeiten

Bei einem offenen System kann das System sowohl Energie als auch Materie mit seiner Umgebung austauschen. Ein Beispiel für ein offenes System, in dem ein Vorgang kontinuierlich abläuft, ist eine Turbine. Im stationären Betrieb wird das System von einem konstanten Massenstrom durchflossen, die Massenbilanz ergibt Null. Dabei bleiben die Zustände des Fluids am Eintritt und am Austritt konstant und das Fluid ändert seinen Zustand auf dem Weg durch das System. Die Wellenarbeit wird beim Verdichten dem System zugeführt, beim Expandieren abgegeben. Sie wird technische Arbeit genannt.

Sie wird beschrieben durch:

 

(Hierbei ist   die Änderung der äußeren Energien. Die Definition der technischen Arbeit ist in der Literatur unterschiedlich. Verschiedentlich versteht man darunter nur den ersten Term  ).

Neben dieser Arbeit treten am Eintritt und Austritt des Systems Verschiebearbeiten auf. Hat im stationären Betrieb das Masseteilchen   am Eintritt das Volumen   und am Austritt  , so ist die Verschiebearbeit am Eintritt  , entsprechend am Austritt  

Diese Verschiebearbeiten sind neben der inneren Energie   in den jeweiligen Enthalpien enthalten. Mit der Definition der Enthalpie

 

ist die Bilanz für das offene stationäre System:

 

und mit dem Symbol für die Leistung

 

und der äußeren Energie

 

lautet der erste Hauptsatz für die Anwendung am offenen System:

 

Die in der Skizze als Beispiel für ein offenes System gezeigte Verbrennungskraftmaschine ist genau genommen abwechselnd offen und geschlossen. Nur über größere Zeiträume hinweg kann sie als offenes System betrachtet werden.

Geschlossenes SystemBearbeiten

Beim geschlossenen System kann Energie in Form von Wärme, Strahlung und Arbeiten zu- oder abgeführt werden. Als Arbeiten kommen in Betracht:

  1. Die reversibel zugeführte Volumenänderungsarbeit, Volumenarbeit genannt. Beispiel in der Skizze: Mit dem Kolben wird reibungsfrei das im Zylinder befindliche Gas verdichtet.
     
    Da   negativ ist, ist also die zugeführte Arbeit positiv.
  2. Dissipierte Arbeit. Als Beispiel sei ein Ventilator oder eine elektrische Heizung in einem Raum mit starrer Systemgrenze genannt. Über die Systemgrenze fließt Arbeit (Exergie), die innerhalb des Systems dissipiert wird. Die Arbeit durch Reibungskräfte zwischen Kolben und Zylinder gehört zu diesen irreversibel zugeführten Energien.

Da nach dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik Energie weder erzeugt, noch vernichtet werden kann, erhöht sich die innere Energie um die zugeführten Energien. Die Bilanz für das ruhende geschlossene System lautet:

 

mit

 

(Die Indizes 1 und 2 benennen den Anfangs- und den Endzustand, der Index 1,2 den Weg von 1 nach 2)

Werden durch den Einfluss der zugeführten Energien die äußere Energien des Systems, also die potentielle Energie und/oder die kinetische Energie des Systems verändert, so ist die Bilanz nach dem 1. Hauptsatz für das geschlossene System:

 

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

  Commons: Thermodynamic systems – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

AnmerkungenBearbeiten

  1. Nach Ludwig wird die Temperatur erst im Rahmen der Thermodynamik definiert und sollte daher nicht für die Definition des grundlegenden Begriffs des thermodynamischen Gleichgewichts benutzt werden. Ludwig weist auf eine weitere Schwierigkeit bei der Feststellung des Gleichgewichtszustandes hin. Es gibt nämlich bei allen bekannten Gleichgewichtszuständen immer verfeinerte Messungen, deren Messergebnisse sich ändern (man denke etwa an die Messung des Druckes mittels sehr kleiner Flächen in sehr kurzen Zeitintervallen). Der Anwendungsbereich muss daher auf gewisse Größen beschränkt werden. Diese Einschränkung wird häufig dadurch ausgedrückt, dass man die zugelassenen Messgrößen kurz thermodynamische Observablen nennt. Welche Größen das sind, ist nicht von vornherein festgelegt, sondern der Anwendungsbereich schält sich erst durch die Anwendung der Theorie heraus.
  2. Baehr und Kabelac zählen auch die Geschwindigkeit des Systems im Bezug zu seinem Beobachter zu den äußeren Zustandsgrößen.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b c d Günther Ludwig: Einführung in die Grundlagen der theoretischen Physik. Band 4. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1979, ISBN 3-528-09184-3, XIV § 1. Thermostatik 1.1 Der Zustandsraum, S. 6–11.
  2. a b c d e f Hans Dieter Baehr, Stephan Kabelac: Thermodynamik – Grundlagen und technische Anwendungen. 16. Auflage. Springer Vieweg, Braunschweig 2016, ISBN 978-3-662-49567-4, 1.2 System und Zustand, S. 14–23.
  3. a b c Gerd Wedler, Hans-Joachim Freund: Lehrbuch der Physikalischen Chemie. 6. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2012, ISBN 978-3-527-32909-0, 1.1.2 System und Umgebung, S. 1–2.
  4. a b c d e André Thess: Das Entropieprinzip – Thermodynamik für Unzufriedene. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 2014, ISBN 978-3-486-76045-3, 2.1 Thermodynamische Systeme, S. 7.
  5. Nicolas Léonard Sadi Carnot: Réflexions sur la puissance motrice du feu et sur les machines propres à développer cette puissance. In: Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure Sér. Band 2, Nr. 1, 1872, S. 393–457 (französisch, numdam.org [abgerufen am 14. April 2018] Nachdruck der Arbeit von 1824).
  6. Rudolf_Clausius: Ueber die bewegende Kraft der Wärme und die Gesetze, welche sich daraus für die Wärmelehre selbst ableiten lassen. In: Annalen der Physik und Chemie. Band 155, Nr. 1, 1850, S. 368 (archive.org [abgerufen am 14. April 2018]).
  7. a b Josiah Willard Gibbs: On the Equilibrium of Heterogeneous Substances. In: Transactions of the Connecticut Academy of Arts and Sciences. Band 3, Nr. V, 1878, S. 108–248 (englisch, biodiversitylibrary.org [abgerufen am 27. April 2017]).
  8. Willy Wien: Eine neue Beziehung der Strahlung schwarzer Körper zum zweiten Hauptsatz der Wärmetheorie. In: Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Erster Halbband 1893, 1893, S. 55 (bbaw.de [abgerufen am 27. April 2017]).
  9. a b Elliott H. Lieb, Jakob Yngvason: The Physics and Mathematics of the Second Law of Thermodynamics. In: Physics Reports. Band 310, Nr. 1, 1999, II. adiabatic accessibility and construction on entropy (A 1. System and their state spaces), S. 12–16, doi:10.1016/S0370-1573(98)00082-9 (englisch, arxiv.org [PDF; abgerufen am 28. April 2017]).
  10. Gerd Wedler, Hans-Joachim Freund: Lehrbuch der Physikalischen Chemie. 6. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2012, ISBN 978-3-527-32909-0, 2.7 Grenzflächengleichgewichte, S. 443–482.
  11. Walter Roedel: Physik unserer Umwelt. Die Atmosphäre. 3. Auflage. Springer Vieweg, Berlin 2000, ISBN 3-540-67180-3, 5.1.1 Die homogene Kondensation, S. 177–184.
  12. a b Günther Ludwig: Einführung in die Grundlagen der theoretischen Physik. Band 4. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1979, ISBN 3-528-09184-3, XIV § 1. Thermostatik 1.2 Der Energiesatz, S. 22.
  13. a b Elliott H. Lieb, Jakob Yngvason: The Physics and Mathematics of the Second Law of Thermodynamics. In: Physics Reports. Band 310, Nr. 1, 1999, III. Simple Systems, S. 36–42, doi:10.1016/S0370-1573(98)00082-9 (englisch, arxiv.org [PDF; abgerufen am 28. April 2017]).
  14. Constantin Carathéodory: Untersuchungen über die Grundlagen der Thermodynamik. In: Mathematische Annalen. Band 67, Nr. 3, 1909, S. 355–386 (http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=GDZPPN002262789 digizeitschriften.de [abgerufen am 27. April 2017]).
  15. Günther Ludwig: Einführung in die Grundlagen der theoretischen Physik. Band 4. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1979, ISBN 3-528-09184-3, XIV § 1. Thermostatik 1.2 Der Energiesatz, S. 27–28.
  16. Günther Ludwig: Einführung in die Grundlagen der theoretischen Physik. Band 4. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1979, ISBN 3-528-09184-3, XIV § 2 Irreversible Prozesse, S. 84–145 (Insbesondere §2.6 Wärmeleitung, §2.7 Die Navier-Stokesschen_Gleichungen, §2.8 Materialien im elektromagnetischen Feld).
  17. Hans Dieter Baehr, Stephan Kabelac: Thermodynamik – Grundlagen und technische Anwendungen. 16. Auflage. Springer Vieweg, Braunschweig 2016, ISBN 978-3-662-49567-4, 4. Die thermodynamischen Eigenschaften reiner Fluide, S. 171–230.
  18. Hans Dieter Baehr, Stephan Kabelac: Thermodynamik – Grundlagen und technische Anwendungen. 16. Auflage. Springer Vieweg, Braunschweig 2016, ISBN 978-3-662-49567-4, 5. Gemische und chemische Reaktionen, S. 231–374.
  19. Hans Dieter Baehr, Stephan Kabelac: Thermodynamik – Grundlagen und technische Anwendungen. 16. Auflage. Springer Vieweg, Braunschweig 2016, ISBN 978-3-662-49567-4, 2.3 Die Energiebilanzgleichungen, S. 66–88.