In der Mathematik ist -Homologie eine Homologietheorie für CW-Komplexe (insbesondere Simplizialkomplexe oder glatte Mannigfaltigkeiten) mit freien Gruppenwirkungen.

Mit ihrer Hilfe werden -Invarianten wie L2-Betti-Zahlen und Novikov-Shubin-Invarianten von Simplizialkomplexen und glatten Mannigfaltigkeiten definiert.

Definition

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Sei   eine Gruppe und   ein CW-Komplex von endlichem Typ mit einer freien, zellulären Wirkung der Gruppe  .

Sei   der zelluläre Kettenkomplex mit der Wirkung von   und sei   der Hilbert-Modul, den man als Vervollständigung des Gruppenrings   bezüglich des Skalarprodukts   erhält. Wir definieren den  -Kettenkomplex als

 .[1]

Der Rand-Operator   induziert einen Rand-Operator

 .

Die  -Homologie ist dann definiert als

 .

Sie ist ein Hilbert- -Modul.

L2-Betti-Zahlen

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Die  -te  -Betti-Zahl ist durch

 

definiert.[2] Hierbei bezeichnet   die von-Neumann-Dimension des Hilbert- -Moduls  .[3]

Literatur

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  • W. Lück: L2-invariants: Theory and applications to geometry and K-theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 44. Berlin: Springer (2002).
  • H. Kammeyer: Introduction to l2-invariants. Lecture Notes in Mathematics 2247. Cham: Springer (2019).
  • C. Löh: Ergodic theoretic methods in group homology. A minicourse on L2-Betti numbers in group theory. SpringerBriefs in Mathematics. Cham: Springer (2020).

Einzelnachweise

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  1. Lück: Definition 1.29 (dort über  )
  2. Lück: Def. 1.16 + 1.29
  3. Lück: Def. 1.10