In der Funktionalanalysis ist ein Kreinraum (nach Mark Krein) ein Hilbertraum mit einer abgeschwächten Struktur: einem i. A. indefiniten inneren Produkt anstelle des üblichen Skalarprodukts. Eine genaue Definition findet sich weiter unten. In vielen Anwendungen ist die Theorie der Kreinräume ein sehr nützliches Werkzeug, beispielsweise bei Operatormatrizen oder bei bestimmten Differentialoperatoren.

Inneres ProduktBearbeiten

Es sei   ein komplexer Vektorraum mit einem indefiniten inneren Produkt  . Wir definieren damit die Teilmengen

 
 
 
 
 

Die in diesen Mengen liegenden Vektoren heißen positiv, neutral, negativ, nichtnegativ beziehungsweise nichtpositiv. Einen Unterraum   mit  ,  ,  ,   bzw.   nennt man positiv, neutral, negativ, nichtnegativ bzw. nichtpositiv. In allen diesen Fällen sagt man,   sei semidefinit. Einen Unterraum, der nicht semidefinit ist, nennt man indefinit.

Definition des KreinraumesBearbeiten

Es seien   ein komplexer Vektorraum und   ein inneres Produkt auf  . Dann heißt   ein Kreinraum, falls eine Zerlegung

 

existiert, so dass   und   Hilberträume sind.   bezeichnet hier die orthogonale direkte Summe (das heißt die Summe ist direkt, und   und   stehen bzgl. des inneren Produktes   senkrecht aufeinander). Eine Zerlegung des Raumes   der obigen Gestalt wird Fundamentalzerlegung genannt.

FundamentalsymmetrieBearbeiten

Im folgenden sei   ein Kreinraum. Mit Hilfe der obigen Fundamentalzerlegung lässt sich auf   ein Skalarprodukt definieren

  mit  

Damit ist   ein Hilbertraum (siehe z. B. im Buch von T.Ya. Azizov und I.S. Iokhvidov).   ist die orthogonale Summe der Hilberträume   und  . Nun führen wir folgende Projektoren   ein:

 

Der Operator   heißt Fundamentalsymmetrie von  . Nun gilt   und  , wobei mit   der adjungierte Operator bezüglich des Hilbertraumskalarproduktes   bezeichnet wird. Ferner ist

  für  

Das Hilbertraumskalarprodukt   hängt von der gewählten Fundamentalzerlegung ab, die, mit Ausnahme des Falles, dass der ganze Raum positiv oder negativ ist, nicht eindeutig bestimmt ist. Aber es lässt sich zeigen (siehe z. B. Proposition 1.1 und 1.2 in der Arbeit von H. Langer in der unten stehenden Literaturliste), dass für zwei Fundamentalzerlegungen

  und  

von   die Dimensionen der entsprechenden Unterräume übereinstimmen,

 

und die zugehörigen Hilbertraumskalarprodukte   und  äquivalente Normen erzeugen. Alle Begriffe in einem Kreinraum, die Bezug auf eine Topologie nehmen, wie Stetigkeit, Abgeschlossenheit, Spektrum eines Operators in   usw. beziehen sich auf diese Hilbertraumtopologie.

PontrjaginraumBearbeiten

Falls   ist, so wird der Kreinraum   ein Pontrjaginraum oder auch  -Raum genannt (benannt nach Lew Pontrjagin). In diesem Fall wird   (bzw.  ) die Zahl der positiven (negativen) Quadrate des inneren Produktes   genannt.

WeblinkBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • T. Ya. Azizov, I. S. Iokhvidov: Linear operators in spaces with an indefinite metric, John Wiley & Sons, Chichester, 1989, ISBN 0-471-92129-7.
  • J. Bognár: Indefinite inner product spaces, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1974, ISBN 3-540-06202-5.
  • H. Langer: Spectral functions of definitizable operators in Krein spaces, Functional Analysis. Proceedings of a conference held at Dubrovnik, Yugoslavia, November 2-14, 1981, Lecture Notes in Mathematics, 948, Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-New York, 1982, 1-46, ISSN 0075-8434.