Komplanarität

geometrische Eigenschaft mehrerer Punkte oder Vektoren
(Weitergeleitet von Koplanarität)

Komplanarität oder Koplanarität ist ein Begriff aus der Geometrie – einem Teilbereich der Mathematik. Mehrere Punkte heißen komplanar, wenn sie in einer Ebene liegen. Drei Vektoren gelten als komplanar, wenn sie linear abhängig sind. Einer der drei Vektoren lässt sich also als Linearkombination der beiden anderen Vektoren darstellen; komplanare Vektoren liegen in derselben Ebene.

KomplanaritätsuntersuchungBearbeiten

Zur Untersuchung der Komplanarität von Vektoren kann eine Komplanaritätsuntersuchung durchgeführt werden. Gegeben seien drei Vektoren  . Für die Komplanarität muss die Gleichung   mit   erfüllbar sein, wobei   nicht gleichzeitig 0 sein dürfen. Die Lösung lässt sich mittels eines linearen Gleichungssystems mit n Gleichungen und den Unbekannten   ermitteln.

Entstammen die Vektoren einem dreidimensionalen Vektorraum, so lässt sich diese Prüfung mit dem Spatprodukt durchführen: Die Vektoren   sind komplanar wenn ihr Spatprodukt   ist. Auch gilt, dass  .

BeispielBearbeiten

Drei Vektoren   und   sollen auf Komplanarität untersucht werden.

Ansatz:

  mit  

Aus dem Ansatz folgt das lineare Gleichungssystem:

 


Einsetzen des Ergebnisses für r in Gleichung (I) ergibt:

 


Gleichung (III) ist für   und   erfüllt:

 


  ist durch eine Linearkombination von   und   darstellbar:

 

und es gilt:

 

Somit sind  ,   und   komplanar.

VerwendungBearbeiten

Komplanaritätsuntersuchungen werden häufig bei der Ermittlung der Lagebeziehungen zwischen Geraden oder Geraden und Ebenen durchgeführt.