Komplex-hyperbolischer Raum

Der komplex-hyperbolische Raum ist in der Mathematik ein Beispiel für einen negativ gekrümmten symmetrischen Raum, dessen Krümmung – anders als beim hyperbolischen Raum – nicht konstant ist.

Definition

Sei $\mathbb {C} ^{n,1}$ der Vektorraum $\mathbb {C} ^{n+1}$ mit der Hermiteschen Form

$\langle U,V\rangle =-u_{n+1}{\overline {v}}_{n+1}+\sum _{j=1}^{n}u_{j}{\overline {v}}_{j}$

für $U=(u_{1},\ldots ,u_{n+1}),V=(v_{1},\ldots ,v_{n+1})$.

Der n-dimensionale komplex-hyperbolische Raum $\mathbb {C} H^{n}$ ist

$\mathbb {C} H^{n}=\left\{X\in \mathbb {C} ^{n,1}:\langle X,X\rangle =-1\right\}$

mit der von der Hermiteschen Form $\langle .,.\rangle$ induzierten riemannschen Metrik.

Geometrie

$\mathbb {C} H^{n}$ ist isometrisch zum homogenen Raum

$SU(n,1)/S(U(n)\times U(1))$.

Es ist ein symmetrischer Raum vom Rang 1.

Für die Schnittkrümmung von Ebenen im $\mathbb {C} H^{n}$ gilt die Ungleichung $-4\leq K\leq -1$. Ebenen in $\mathbb {R} H^{n}\subset \mathbb {C} H^{n}$ haben Schnittkrümmung $-1$, während die Ebene $\mathbb {C} H^{1}\subset \mathbb {C} H^{n}$ die Schnittkrümmung $-4$ hat.

Der Rand im Unendlichen $\partial _{\infty }\mathbb {C} H^{n}$ ist homöomorph zur $S^{2n-1}$. Horosphären sind isometrisch zur Heisenberggruppe.

Isometrien

Eine Isometrie von $\mathbb {C} H^{n}$ heißt elliptisch, wenn sie einen Fixpunkt in $\mathbb {C} H^{n}$ hat, parabolisch, wenn sie einen eindeutigen Fixpunkt in $\partial _{\infty }\mathbb {C} H^{n}$ hat, und loxodromisch, wenn sie zwei Fixpunkte in $\partial _{\infty }\mathbb {C} H^{n}$ hat.

Loxodromische Isometrien werden durch Matrizen $A\in SU(n,1)$ mit jeweils mindestens einem Eigenwert vom Betrag kleiner bzw. größer 1 repräsentiert. Eine loxodromische Isometrie heißt strikt hyperbolisch, wenn sie durch eine Matrix $A\in SU(n,1)$ mit reellen Eigenwerten repräsentiert wird, schwach hyperbolisch sonst.

Parabolische Isometrien sind entweder unipotent, d. h. werden durch eine Matrix $A\in SU(n,1)$ repräsentiert, deren Eigenwerte alle 1 sind, oder ellipto-parabolisch, in diesem Fall gibt es eine eindeutige komplexe Geodäte, auf der die Isometrie als parabolische Isometrie von $\mathbb {C} H^{1}\simeq H^{2}$ wirkt.

Eine Isometrie ist genau dann elliptisch, wenn sie eine zyklische Gruppe mit kompaktem Abschluss erzeugt. Sie heißt regulär elliptisch, wenn alle Eigenwerte einer repräsentierenden Matrix $A\in SU(n,1)$ verschieden sind.

Komplex-hyperbolische Mannigfaltigkeiten

Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit heißt komplex-hyperbolisch, wenn ihre universelle Überlagerung isometrisch zum $\mathbb {C} H^{n}$ ist.

Ballquotienten

In der algebraischen Geometrie werden komplexe Mannigfaltigkeiten als Ballquotienten bezeichnet, wenn ihre universelle Überlagerung biholomorph zum $\mathbb {C} H^{n}$ ist.

Literatur

• Goldman, William M.: Complex hyperbolic geometry. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1999. xx+316 pp. ISBN 0-19-853793-X
• David Epstein: Complex hyperbolic geometry. Analytical and geometric aspects of hyperbolic space (Coventry/Durham, 1984), 93–111, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 111, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1987.