In der Mathematik ist der Homotopie-Quotient ein Begriff aus der algebraischen Topologie.

Er erlaubt eine homotopie-invariante Definition der Quotienten von Gruppenwirkungen und kann deshalb zur Definition von Homotopieinvarianten von Gruppenwirkungen verwendet werden, beispielsweise der äquivarianten Kohomologie.

Definition

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Eine Gruppe   wirke auf einem Raum  . Als Homotopie-Quotient   dieser Gruppenwirkung bezeichnet man den Homotopietypen von  , wobei   ein zusammenziehbarer Raum mit einer freien  -Wirkung ist.

Der Homotopietyp von   hängt nicht von der Wahl des zusammenziehbaren, freien  -Raumes   ab. Man kann für   beispielsweise die geometrische Realisierung des Simplizialkomplexes wählen, dessen  -Simplizes den Tupeln in   entsprechen.

Für freie Wirkungen ist   homotopie-äquivalent zu  , im Allgemeinen ist das aber nicht der Fall.

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