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German tank problem

mathematisches Problem
Während des Zweiten Weltkrieges wurde die Produktion deutscher Panzer, wie z. B. des Panther-Panzers, von den Alliierten Nachrichtendiensten mit statistischen Methoden genau geschätzt

Das German tank problem (englisch für Problem der deutschen Panzer) besteht in der Wahrscheinlichkeitstheorie darin, das Maximum einer diskreten Gleichverteilung durch eine Stichprobenziehung ohne Zurücklegen abzuschätzen.

Das Problem ist nach seiner Anwendung durch die alliierten Streitkräfte im Zweiten Weltkrieg zur Schätzung der monatlichen Produktionsrate der deutschen Panzer benannt, wobei die deutschen Herstellungspraktiken ausgenutzt wurden. Dabei wurden fortlaufend aufsteigende Seriennummern für verschiedene Panzerbauteile (Fahrgestell, Getriebe, Motor, Räder) vergeben, die anschließend in geringem Umfang in die Hände der alliierten Streitkräfte fielen.

Als mathematisches Problem werden die Seriennummern als ununterbrochene Folge von ganzen Zahlen, beginnend mit der Seriennummer 1, modelliert; die deutsche Herstellungspraxis und die Kennzeichnungskonventionen im Kriegsumfeld waren komplexer und werden hier nicht behandelt.

Das Problem kann entweder mit Hilfe von frequentistischer Inferenz oder Bayesscher Inferenz angegangen werden, wobei unterschiedliche Ergebnisse erzielt werden. Die Schätzung des Maximums der Grundgesamtheit auf der Grundlage einer einzigen Stichprobe ergibt unterschiedliche Ergebnisse, wohingegen die Schätzung auf der Grundlage mehrerer Stichproben eine praktische Schätzfrage ist, deren Antwort einfach (vor allem in der frequentistischen Variante), aber nicht offensichtlich (vor allem in der Bayesschen Variante) ist.

AnnahmenBearbeiten

Es wird angenommen, dass der Gegner eine Reihe von Panzern hergestellt hat, die mit fortlaufenden Ganzzahlen gekennzeichnet sind, beginnend mit der Seriennummer 1. Unabhängig vom Herstellungsdatum des Panzers, der Betriebsgeschichte oder der Seriennummer, die er trägt, sind die ermittelten Seriennummern bis zum Zeitpunkt der Analyse gleichmäßig verteilt.

BerechnungBearbeiten

 
Funktionsgraphen der geschätzten Populationsgröße N, für die Anzahl der Stichproben k und die größte Stichprobenseriennummer m, unter Verwendung von frequentistischer (gestrichelte Linien) und Bayesscher Analyse (durchgezogene Linie zeigt den Erwartungswert, und die Schattierungen zeigen den möglichen Bereich innerhalb einer Standardabweichung)

Die Formel für die Schätzung der Gesamtzahl der Panzer   basierend auf der Anzahl der Stichproben   und der größten beobachteten Seriennummer   im Rahmen des frequentistischen Ansatzes lautet

 

während die bayessche Analyse (primär) eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Anzahl der Panzer liefert

 

aus der der Erwartungswert   und die Standardabweichung   für die Anzahl der Panzer gemäß folgender Formel ermittelt werden kann:

 

BeispielBearbeiten

Angenommen,   Panzer mit den Seriennummern 19, 40, 42 und 60 werden erbeutet. Die maximal beobachtete Seriennummer ist  . Die unbekannte Gesamtzahl der Panzer wird mit   bezeichnet.

Die frequentistische Formel liefert in dem Fall

 ,

während mit der bayesschen Analyse eine Verteilung ermittelt werden kann, die folgenden Schätzwert liefert:

 .

Diese Verteilung besitzt eine positive Schiefe, was damit zusammenhängt, dass es mindestens 60 Panzer gibt.

Historisches ProblemBearbeiten

 
Verladung neuer „Panther“-Panzerkampfwagen zum Transport an die Front (1943)

Im Verlauf des Krieges unternahmen die Westalliierten intensive Anstrengungen, um das Ausmaß der deutschen Fertigung zu bestimmen, und näherten sich dem auf zweierlei Weise: konventionelle Informationsgewinnung und statistische Schätzung. In vielen Fällen übertraf die statistische Analyse die herkömmliche Nachrichtentechnik erheblich. In einigen Fällen wurde konventionelle Nachrichtentechnik in Verbindung mit statistischen Methoden eingesetzt, wie es bei der Schätzung der Produktion von Panther-Panzern kurz vor dem D-Day der Fall war.

Die alliierte Kommandostruktur hatte vermutet, dass die in Italien gesehenen Panzerkampfwagen V Panther mit ihren schnellen, langgestreckten 7,5-cm-KwK 42/L70 Kanonen ungewöhnlich schwere Panzer darstellten und nur in geringer Zahl in Nordfrankreich zu sehen waren, ähnlich wie der Tiger I in Tunesien gesehen wurde. Die US-Armee war zuversichtlich, dass der Sherman-Panzer auch weiterhin eine gute Leistung bringen würde, wie auch gegen den Panzerkampfwagen III und Panzerkampfwagen IV in Nordafrika und Sizilien.[1] Kurz vor dem D-Day gab es Gerüchte, dass eine große Anzahl von Panther-V-Panzern im Einsatz war.

Um diese Information zu verifizieren, versuchten die Alliierten die Anzahl der produzierten Panzer abzuschätzen. Dazu benutzten sie die Seriennummern von eroberten oder zerstörten Panzern. Als Hauptnummern wurden Getriebezahlen verwendet, da diese in zwei ununterbrochene Zahlenreihen fielen. Es wurden auch Fahrgestell- und Motornummern verwendet, die allerdings komplizierter zu handhaben waren. Verschiedene andere Komponenten wurden verwendet, um die Analyse zu überprüfen. Ähnliche Analysen wurden an Rädern durchgeführt, bei denen beobachtet wurde, dass sie fortlaufend nummeriert waren (d. h. 1, 2, 3, ..., N). (Die untere Schranke war unbekannt, aber um die Diskussion zu vereinfachen, wird dieses Detail in der Regel weggelassen, wobei die untere Schranke als 1 angenommen wird.)[2][3]

Die Analyse der Panzerräder ergab eine Schätzung der Anzahl der verwendeten Gussformen. Eine Diskussion mit britischen Laufradherstellern schätzte dann die Anzahl der Räder, die aus diesen vielen Formen hergestellt werden konnten, was die Anzahl der Panzer ergab, die jeden Monat produziert wurden. Die Analyse der Räder von zwei Panzern (32 Laufräder, 64 Laufräder insgesamt) ergab eine Schätzung von 270 Panzern, die im Februar 1944 produziert wurden, wesentlich mehr als bisher vermutet.[4]

Deutsche Aufzeichnungen nach dem Krieg zeigten, dass die Produktion für den Monat Februar 1944 bei 276 lag.[5] Der statistische Ansatz erwies sich als weitaus genauer als herkömmliche nachrichtendienstliche Methoden, und der Ausdruck „German tank problem“ wurde als Bezeichnung für diese Art der statistischen Analyse akzeptiert.

Diese Seriennummernanalyse wurde nicht nur zur Abschätzung der Produktion eingesetzt. Sie diente auch dazu, die deutsche Produktionsstruktur allgemeiner zu verstehen, einschließlich der Anzahl der Fabriken, der relativen Bedeutung der Fabriken, der Länge der Lieferkette (basierend auf der Verzögerung zwischen Produktion und Nutzung), der Veränderungen in der Produktion und der Verwendung von Ressourcen wie Gummi.

Spezifische DatenBearbeiten

Nach herkömmlichen Schätzungen des alliierten Geheimdienstes stellten die Deutschen zwischen Juni 1940 und September 1942 monatlich rund 1400 Panzer her. Wendet man die hier behandelte Formel auf die Seriennummern der erbeuteten Panzer an, so wurde die Anzahl auf 246 pro Monat berechnet. Nach dem Ende des Krieges zeigten aufgezeichnete deutsche Produktionszahlen aus dem Ministerium von Albert Speer, dass die tatsächliche Anzahl 245 betrug.[2]

Die Schätzungen für einige Monate werden wie folgt angegeben:[6]

Monat Statistische Schätzung Geheimdienst-Schätzung Deutsche Aufzeichnungen
Juni 1940 169 1000 122
Juni 1941 244 1550 271
August 1942 327 1550 342

Ähnliche AnalysenBearbeiten

 
Die Produktion von V2-Raketen wurde mit statistischen Methoden genau geschätzt

Ähnliche Seriennummernanalysen wurden während des Zweiten Weltkriegs auch für andere militärische Ausrüstungsgegenstände verwendet, am erfolgreichsten für die V2-Rakete.[7]

Fabrikmarkierungen auf sowjetischen Militärausrüstungen wurden während des Koreakrieges und durch den deutschen Geheimdienst während des Zweiten Weltkriegs analysiert.[8]

In den 1980er Jahren erhielten einige Amerikaner Zugang zur Produktionslinie der israelischen Merkava-Panzer. Die Produktionszahlen waren geheim, aber die Panzer hatten Seriennummern, die eine Abschätzung der Produktion ermöglichten.[9]

Die Formel wurde in nicht-militärischen Zusammenhängen verwendet, z. B. um die Zahl der gebauten Commodore-64-Computer zu schätzen, wobei das Ergebnis (12,5 Millionen) mit den unteren Schätzungen übereinstimmt.[10] Auch die Produktionszahlen von iPhones und anderen Mobiltelefonen wurden anhand der IMEI-Nummer mit dieser Methode abgeschätzt.[11]

GegenmaßnahmenBearbeiten

Um die Analyse von Seriennummern zu verhindern, können Seriennummern vermieden werden bzw. brauchbare Zusatzinformationen reduziert werden. Alternativ können einer Kryptoanalyse widerstehende Seriennummern verwendet werden, am effektivsten durch die zufällige Ziehung von Nummern ohne Zurücklegen aus einer Liste, die viel größer ist als die Anzahl der produzierten Gegenstände (vgl. One-Time-Pad), oder durch die Erzeugung von Zufallszahlen und deren Vergleich mit der Liste der bereits zugewiesenen Nummern; Kollisionen sind wahrscheinlich, es sei denn, die Anzahl der möglichen Ziffern ist mehr als doppelt so hoch wie die Anzahl der Ziffern in der Anzahl der produzierten Objekte (wobei die Seriennummer in jeder beliebigen Basis sein kann); siehe Geburtstagsparadoxon. Hierfür kann ein kryptographisch sicherer Pseudozufallszahlengenerator verwendet werden. Alle diese Methoden erfordern eine Lookup-Tabelle (oder das Brechen der Chiffre), um von der Seriennummer die Produktionsreihenfolge zu ermitteln, was die Verwendung der Seriennummern erschwert: Ein Bereich von Seriennummern kann beispielsweise nicht abgerufen werden, sondern muss einzeln nachgeschlagen oder eine Liste muss erstellt werden.

Alternativ können fortlaufende Seriennummern mit einer einfachen Substitutionschiffre verschlüsselt werden, was eine einfache Dekodierung ermöglicht, aber auch leicht durch einen Known-Plaintext-Angriff gebrochen werden kann: Auch wenn der Klartext von einem beliebigen Punkt aus gestartet wird, hat er ein Muster (d. h. die Zahlen sind aufeinanderfolgend). Ein Beispiel ist Ken Folletts Roman „Das zweite Gedächtnis“, in dem die Verschlüsselung der Seriennummern der Jupiter-C-Rakete beschrieben wird:

H U N T S V I L E X
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

Das Codewort hier ist Huntsville (ohne wiederholte Buchstaben), um einen Schlüssel mit 10 Buchstaben zu erhalten. Die Rakete Nummer 13 war also „HN“, und die Rakete Nummer 24 war „UT“.

Eine starke Verschlüsselung von Seriennummern, ohne diese zu vergrößern, kann mit Format-erhaltender Verschlüsselung erreicht werden. Anstatt eine wirklich zufällige Permutation auf der Menge aller möglichen Seriennummern in einer großen Tabelle zu speichern, leiten solche Algorithmen eine pseudozufällige Permutation von einem geheimen Schlüssel ab. Sicherheit kann dann definiert werden als die pseudozufällige Permutation, die von einer wirklich zufälligen Permutation für einen Angreifer, der den Schlüssel nicht kennt, nicht zu unterscheiden ist.

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Armored Ground Forces policy statement. Chief of staff. November 1943.
  2. a b Gavyn Davies does the maths – How a statistical formula won the war. 20. Juli 2006. Abgerufen am 6. Juli 2014.
  3. Robert Matthews: Data sleuths go to war, sidebar in feature "Hidden truths". 23. Mai 1998. Archiviert vom Original am 18. April 2001.
  4. Bob Carruthers: Panther V in Combat. Coda Books Ltd, 1. März 2012, ISBN 978-1-908538-15-4, S. 94.
  5. Ruggles, Brodie, Seite 82–83.
  6. Ruggles, Brodie, Seite 89
  7. Ruggles, Brodie, Seite 90–92.
  8. Volz
  9. Johnson
  10. How many Commodore 64 computers were really sold?. 1. Februar 2011. Abgerufen am 6. Juli 2014.
  11. Holger Dambeck: Rechentrick der Alliierten: Wie Seriennummern die Nazi-Industrie verrieten. 22. November 2010. Abgerufen am 6. Februar 2018.